Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1,0,2), B(-2,0,5), C(0,-1,7). Trên đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng $\left(ABC\right)$  tại A lấy một điểm S. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC. Biết khi S di động trên $d\left(S\ne A\right)$  thì đường thẳng HK luôn đi qua một điểm cố định D. Tính độ dài đoạn thẳng AD.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và BC, biết $MN=\frac{a\sqrt{6}}{2}$ . Khi đó giá trị sin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng $\left(SBD\right)$  bằng

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng $\left(ABCD\right)$  là trung điểm H của AB. Cho $AB=2a;AD=4a$ ; $AA\text{'}=8a$ . Gọi E, N, M lần lượt là trung điểm của BC, DE, $A^{\text{'}}B$ . Gọi $\alpha$  là góc giữa MN và AD'. Tính $\tan \alpha$ .

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=2a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm cạnh SD. Tan của góc tạo bởi hai mặt phẳng $\left(AMC\right)$  và $\left(SBC\right)$  bằng

Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA=AB=3cm, BC=5cm và diện tích tam giác SAC bằng $6c{m}^2$ . Một mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  thay đổi qua trọng tâm G của tứ diện cắt các cạnh AS, AB, AC lần lượt tại M, N, P. Tính giá trị nhỏ nhất $T_m$  của biểu thức $T=\frac{1}{A{M}^2}+\frac{1}{A{N}^2}+\frac{1}{A{P}^2}$ .

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng $\left(ABC\right)$ là trung điểm O của cạnh AB. Góc giữa đường thẳng AA' và mặt phẳng $\left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)$  là $60°$ . Gọi I là trung điểm cạnh B'C'. Khoảng cách từ I đến đường thẳng A'C bằng

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân,$AB=AC=a,=h\left(a,h>0\right)$   . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB' và BC' theo a, h.