Hai vật chuyển động đều trên một đường tròn đường kính 20 cm, xuất phát cùng một lúc, từ cùng một điểm. Nếu chuyển động ngược chiều thì cứ sau 4 giây chúng lại gặp nhau. Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ sau 20 giây chúng lại gặp nhau. Tính vận tốc (cm/s) của mỗi vật. 

Gọi số tiền người mua hàng phải trả đối với loại hàng thứ nhất và loại hàng thứ hai không kể thuế VAT là x, y (x, y > 0) (triệu đồng) 

Khi thuế giá trị gia tăng (VAT) tới mức 10% đối với loại hàng thứ nhất thì giá tiền của loại hàng thứ nhất là 110%x = 1,1x. 

8% đối với loại hàng thứ hai thì giá tiền của loại hàng thứ hai là 108%y = 1,08y. 

Người mua hàng phải trả tổng cộng là 21,7 triệu đồng nên ta có phương trình  

1,1x + 1,08y = 21,7. (1) 

Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì giá tiền của loại hàng thứ nhất là  

109%x = 1,09x. 

Giá tiền của loại hàng thứ hai là 109%y = 1,09y. 

Người đó phải trả tổng cộng 21,8 triệu đồng nên ta có phương trình  

1,09x + 1,09y = 21,8 hay x + y = 20. (2) 

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình . 

Từ phương trình thứ hai ta có x = 20 – y. Thay vào phương trình nhất ta được: 

1,1(20 – y) + 1,08y = 21,7 hay −0,02y = 0,3 nên y = 15 (thỏa mãn điều kiện). 

Với y = 15 thì x = 5 (thỏa mãn điều kiện). 

Vậy nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả 5 triệu đồng cho mặt hàng thứ nhất và 15 triệu cho mặt hàng thứ hai. 

Gọi số có hai chữ số cần tìm là   

Sau khi viết thêm chữ số 3 vào giữa hai chữ số của số n thì ta được số mới có dạng  

Nếu viết thêm chữ số 3 vào giữa hai chữ số của số n thì được một số lớn hơn số 2n là 585 đơn vị nên ta có phương trình 

  
100a + 30 + b − 2(10a + b) = 585 

100a + 30 + b − 20a − 2b = 585 

80a – b = 555. (1) 

Khi viết hai chữ số của số n theo thứ tự ngược lại thì ta được số có dạng  

Thì được một số nhỏ hơn số n là 18 đơn vị nên ta có phương trình  

10a + b − (10b + a) = 18  

10a + b − 10b − a = 18 

a – b = 2. (2) 

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình . 

Trừ từng vế của hai phương trình ta có  

(80a − b) − (a − b) = 555 − 2 hay 79a = 55, suy ra a = 7 (thỏa mãn điều kiện).  

• Với a = 7 thay vào phương trình thứ hai ta được b = 5 (thỏa mãn điều kiện). 

Vậy số tự nhiên n có hai chữ số cần tìm là 75.