Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x²(x – 9)(x – 4)². Khi đó hàm số g(x) = f(x²) đồng biến trên khoảng nào?

Đáp án đúng là: B

Ta có y' = (2x + 2)f'(x² + 2x) = 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\f'\left( {{x^2} + 2x} \right) = 0\quad \left( 1 \right)\end{array} \right.\).

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 2x = a < - 1\quad \quad \quad \left( 2 \right)\\{x^2} + 2x = b \in \left( { - 1;1} \right)\quad \quad \left( 3 \right)\\{x^2} + 2x = c > 1\quad \quad \quad \quad \left( 4 \right)\end{array} \right.\).

Đồ thị hàm số y = x² + 2x có dạng

Từ đồ thị hàm số y = x² + 2x ta thấy phương trình (2) vô nghiệm; phương trình (3) ; phương trình (4) đều có 2 nghiệm phân biệt.

Do đó y' = 0 có 5 nghiệm đơn phân biệt. Vậy hàm số y = f(x² + 2x) có 5 điểm cực trị.

Đáp án đúng là: B

Ta có g'(x) = −2f'(3 – 2x).

Có g'(x) > 0 $\iff$ f'(3 – 2x) < 0 $\iff$ 1 < 3 – 2x < 2 \( \Leftrightarrow \frac{1}{2} < x < 1\).

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( {\frac{1}{2};1} \right)\).