Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x²(x – 9)(x – 4)². Khi đó hàm số g(x) = f(x²) đồng biến trên khoảng nào?

Đáp án đúng là: B

Ta có y' = (2x + 2)f'(x² + 2x) = 0 \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\f'\left( {{x^2} + 2x} \right) = 0\quad \left( 1 \right)\end{array} \right.\).

Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 2x = a < - 1\quad \quad \quad \left( 2 \right)\\{x^2} + 2x = b \in \left( { - 1;1} \right)\quad \quad \left( 3 \right)\\{x^2} + 2x = c > 1\quad \quad \quad \quad \left( 4 \right)\end{array} \right.\).

Đồ thị hàm số y = x² + 2x có dạng

Từ đồ thị hàm số y = x² + 2x ta thấy phương trình (2) vô nghiệm; phương trình (3) ; phương trình (4) đều có 2 nghiệm phân biệt.

Do đó y' = 0 có 5 nghiệm đơn phân biệt. Vậy hàm số y = f(x² + 2x) có 5 điểm cực trị.

Đáp án đúng là: B

Ta có g'(x) = (2x – 2)f'(x² – 2x).

Có g'(x) = 0 \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - 2 = 0}\\{{x^2} - 2x = - 1}\\{{x^2} - 2x = 2}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 1 + \sqrt 3 \\x = 1 - \sqrt 3 \end{array} \right.\).

Do g'(x) đổi dấu khi qua các nghiệm x = 1 và \(x = 1 + \sqrt 3 \) nên g(x) = f(x² – 2x) có 2 điểm cực trị trên khoảng (0; +∞).