Cho \[\sin a + \cos a = \frac{1}{3}\] với \[ - \frac{\pi }{2} < a < 0\]. Biết \[A = \sin a - \cos a = - \frac{{\sqrt m }}{n}\] với m là số nguyên tố. Tính\[m + n\]?

Đáp án đúng là: B

Ta có \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x;\) \(\sin \left( {10\pi  + x} \right) = \sin x.\)

Và \(\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} - x} \right) = \cos \left( {2\pi  - \frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) =  - {\mkern 1mu} \sin x;\) \(\cos \left( {8\pi  - x} \right) = \cos x.\)

Khi đó \({\left[ {\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + \sin \left( {10\pi  + x} \right)} \right]^{{\kern 1pt} 2}} + {\left[ {\cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} - x} \right) + \cos \left( {8\pi  - x} \right)} \right]^{{\kern 1pt} 2}}\)

\( = {\left( {\cos x + \sin x} \right)^2} + {\left( {\cos x - \sin x} \right)^2}\)

\( = {\cos ^2}x + 2.\sin x.\cos x + {\sin ^2}x + {\cos ^2}x - 2.\sin x.\cos x + {\sin ^2}x = 2.\)

Đáp án đúng là: B

Vì \(A,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} B,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} C\) là ba góc của một tam giác suy ra \(A + C = \pi  - B.\)

Khi đó \(\sin \left( {A + C} \right) = \sin \left( {\pi  - B} \right) = \sin B;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \cos \left( {A + C} \right) = \cos \left( {\pi  - B} \right) =  - {\mkern 1mu} \cos B.\)

\(\tan \left( {A + C} \right) = \tan \left( {\pi  - B} \right) =  - {\mkern 1mu} \tan B;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \cot \left( {A + C} \right) = \cot \left( {\pi  - B} \right) =  - {\mkern 1mu} \cot B.\)