Hình vẽ dưới đây cho ta đồ thị của ba hàm số

f (x) = \[\frac{1}{2}{x^2}\]; g(x) = \[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}{x^2}{\rm{        , x}} \le {\rm{2}}\\ - 4x + 10{\rm{ ,  x}} \ge {\rm{2}}\end{array} \right.\] và h(x) = \[3 - \frac{1}{2}{x^2}\]  trên đoạn [−1; 3].

a) Hàm số nào đạt giá trị lớn nhất tại một điểm cực đại của nó?

b) Các hàm số còn lại đạt giá trị lớn nhất tại điểm nào?

Xét hàm số \(f(x) = 2x + 3\) trên đoạn \([ - 3;1]\).

Với mọi \(x \in [ - 3;1]\), ta có \(f(x) = 2x + 3 \ge  - 3\). Mặt khác \(f( - 3) =  - 3\). Do đó \({\min _{[ - 3;1]}}f(x) =  - 3\).

Với mọi \(x \in [ - 3;1]\), ta có \(f(x) = 2x + 3 \le 5\). Mặt khác \(f(1) = 5\). Do đó \({\max _{[ - 3;1]}}f(x) = 5\).

Xét hàm số \(g(x) = \sqrt {1 - {x^2}} \).

Tập xác định: \(D = [ - 1;1]\).

Ta có \(0 \le g(x) \le 1\) với mọi \(x \in [ - 1;1]\). Mặt khác \(g(0) = 1\) và \(g(1) = 0\).

Do đó \({\min _{[ - 1;1]}}g(x) = 0\) và \({\max _{[ - 1;1]}}g(x) = 1\).