Cho đồ thị của hàm số y = \[\frac{{{x^2} + 1}}{x}\] và đường thẳng y = x. Đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x cắt đồ thị hàm số tại điểm M  và cắt đường thẳng y = x tại điểm N (Hình vẽ bên).

a) Tính \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\frac{{{x^2} + 1}}{x} - x} \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\frac{{{x^2} + 1}}{x} - x} \right)\] và có kết luận gì về đường thẳng y = x ?

b) Tính MN theo x và nhận xét về MN khi x → +∞ hoặc x → −∞.

Tập xác định: D = ℝ\{2}.

Ta có:  a = \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{f(x)}}{x}\]         = \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \]\[\frac{{{x^2} - 3x + 1}}{{{x^2} - 2x}}\]= 1.

b = \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \] [ f (x) – ax] = \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \]\[\left( {\frac{{{x^2} - 3x + 1}}{{x - 2}} - x} \right)\]= \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \]\[\frac{{ - x + 1}}{{x - 2}}\]= -1.

Ta cũng có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{f(x)}}{x}\] = 1; \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \] [ f (x) – ax] = -1.

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng y = x – 1.

Tập xác định: D = ℝ\{–1}.

Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \] [ f (x)−(x −2)] = \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \]\[\frac{3}{{x + 1}}\]= 0; \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \] [ f (x)−(x −2)] = \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \]\[\frac{3}{{x + 1}}\]= 0;

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng y = x − 2.