Chứng minh rằng đường thẳng y = x − 2 là một TCX của đồ thị hàm số  f (x) = x − 2 + \[\frac{3}{{x + 1}}\].

Tập xác định: D = ℝ\{2}.

Ta có:  a = \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{f(x)}}{x}\]         = \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \]\[\frac{{{x^2} - 3x + 1}}{{{x^2} - 2x}}\]= 1.

b = \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \] [ f (x) – ax] = \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \]\[\left( {\frac{{{x^2} - 3x + 1}}{{x - 2}} - x} \right)\]= \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \]\[\frac{{ - x + 1}}{{x - 2}}\]= -1.

Ta cũng có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{f(x)}}{x}\] = 1; \[\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \] [ f (x) – ax] = -1.

Do đó, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng y = x – 1.

a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\frac{{{x^2} + 1}}{x} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{1}{x} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\frac{{{x^2} + 1}}{x} - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{x} = 0\)

b) Ta có \(MN = |f(x) - x| = \left| {\frac{1}{x}} \right|\)

Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left| {\frac{1}{x}} \right| = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left| {\frac{1}{x}} \right| = 0\).

Nhận xét MN tiến dần về 0 khi khi \(x \to  + \infty \) hoặc \(x \to  - \infty \).