Công suất \(P\)(đơn vị \[W\]) của một mạch điện được cung cấp bởi một nguồn pin \(12V\)được cho bởi công thức \(P = 12I - 0,5{I^2}\) với \(I\)(đơn vị \(A\)) là cường độ dòng điện. Tìm công suất tối đa của mạch điện.

Gọi chiều dài và chiều rộng của miếng phụ lần lượt là x, y. Đường kính của khúc gỗ là d, khi đó tiết diện ngang của thanh xà có độ dài cạnh là \(\frac{d}{{\sqrt 2 }}\) và \(0 < x < \frac{{d\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{4},0 < y < \frac{d}{{\sqrt 2 }}\)

Theo đề Câu ta được hình chữ nhật ABCD như hình vẽ, theo định lý Pitago ta có:

\({\left( {2x + \frac{d}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + {y^2} = {d^2} \Leftrightarrow y = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sqrt {{d^2} - 8{x^2} - 4\sqrt 2 x} \)

Do đó, miếng phụ có diện tích là: \(S\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sqrt {{d^2} - 8{x^2} - 4\sqrt 2 dx} \) với \(0 < x < \frac{{d\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{4}\)

Bài toán trở thành tìm \(x\) để \(S\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

Ta có: \(S'\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sqrt {{d^2} - 8{x^2} - 4\sqrt 2 dx}  + \frac{{x\left( { - 8x - 2\sqrt 2 d} \right)}}{{\sqrt 2 \sqrt {{d^2} - 8{x^2} - 4\sqrt 2 dx} }}\)\( = \frac{{ - 16{x^2} - 6\sqrt 2 dx + {d^2}}}{{\sqrt 2 \sqrt {{d^2} - 8{x^2} - 4\sqrt 2 dx} }}\)

\(S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow  - 16{x^2} - 6\sqrt 2 dx + {d^2} = 0 \Leftrightarrow  - 16{\left( {\frac{x}{d}} \right)^2} - 6\sqrt 2 \left( {\frac{x}{d}} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt {34}  - 3\sqrt 2 }}{{16}}d\)

Vậy miếng phụ có kích thước \(x = \frac{{\sqrt {34}  - 3\sqrt 2 }}{{16}}d,y = \frac{{\sqrt {7 - \sqrt {17} } }}{4}d\)

Đặt kích thước các cạnh như hình vẽ

Ta có \(\frac{x}{{\sqrt 2 }} + y\sqrt 2  + \frac{x}{{\sqrt 2 }} = 6\)\( \Leftrightarrow x + y = 3\sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow y = 3\sqrt 2  - x\) với \(0 < x < 3\sqrt 2 \).

Thể tích của khối hộp tạo thành là \(V = {x^2}y = {x^2}\left( {3\sqrt 2  - x} \right)\).

Ta có \[V' = 3x\left( {2\sqrt 2  - x} \right) = 0 \Rightarrow x = 2\sqrt 2 \].

Bảng biến thiên

Vậy: \(\max V = 8\sqrt 2 \) khi \(x = 2\sqrt 2 \),\(y = \sqrt 2 \).