Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. độ sâu \(h\left( m \right)\) của mực nước trong kênh tính theo thời gian \(t\left( h \right)\) trong ngày cho bởi công thức \(h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) + 12\). Khi nào mực nước của kênh là cao nhất với thời gian ngắn nhất?

Gọi chiều dài và chiều rộng của miếng phụ lần lượt là x, y. Đường kính của khúc gỗ là d, khi đó tiết diện ngang của thanh xà có độ dài cạnh là \(\frac{d}{{\sqrt 2 }}\) và \(0 < x < \frac{{d\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{4},0 < y < \frac{d}{{\sqrt 2 }}\)

Theo đề Câu ta được hình chữ nhật ABCD như hình vẽ, theo định lý Pitago ta có:

\({\left( {2x + \frac{d}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + {y^2} = {d^2} \Leftrightarrow y = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sqrt {{d^2} - 8{x^2} - 4\sqrt 2 x} \)

Do đó, miếng phụ có diện tích là: \(S\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sqrt {{d^2} - 8{x^2} - 4\sqrt 2 dx} \) với \(0 < x < \frac{{d\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{4}\)

Bài toán trở thành tìm \(x\) để \(S\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

Ta có: \(S'\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sqrt {{d^2} - 8{x^2} - 4\sqrt 2 dx}  + \frac{{x\left( { - 8x - 2\sqrt 2 d} \right)}}{{\sqrt 2 \sqrt {{d^2} - 8{x^2} - 4\sqrt 2 dx} }}\)\( = \frac{{ - 16{x^2} - 6\sqrt 2 dx + {d^2}}}{{\sqrt 2 \sqrt {{d^2} - 8{x^2} - 4\sqrt 2 dx} }}\)

\(S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow  - 16{x^2} - 6\sqrt 2 dx + {d^2} = 0 \Leftrightarrow  - 16{\left( {\frac{x}{d}} \right)^2} - 6\sqrt 2 \left( {\frac{x}{d}} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt {34}  - 3\sqrt 2 }}{{16}}d\)

Vậy miếng phụ có kích thước \(x = \frac{{\sqrt {34}  - 3\sqrt 2 }}{{16}}d,y = \frac{{\sqrt {7 - \sqrt {17} } }}{4}d\)

Đặt kích thước các cạnh như hình vẽ

Ta có \(\frac{x}{{\sqrt 2 }} + y\sqrt 2  + \frac{x}{{\sqrt 2 }} = 6\)\( \Leftrightarrow x + y = 3\sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow y = 3\sqrt 2  - x\) với \(0 < x < 3\sqrt 2 \).

Thể tích của khối hộp tạo thành là \(V = {x^2}y = {x^2}\left( {3\sqrt 2  - x} \right)\).

Ta có \[V' = 3x\left( {2\sqrt 2  - x} \right) = 0 \Rightarrow x = 2\sqrt 2 \].

Bảng biến thiên

Vậy: \(\max V = 8\sqrt 2 \) khi \(x = 2\sqrt 2 \),\(y = \sqrt 2 \).