Công ty dụ lịch Ban Mê dự định tổ chức một tua xuyên Việt. Công ty dự định nếu giá tua là 2 triệu đồng thì sẽ có khoảng 150 người tham gia. Để kích thích mọi người tham gia, công ty quyết định giảm giá và cứ mỗi lần giảm giá tua 100 ngàn đồng thì sẽ có thêm 20 người tham gia. Hỏi công ty phải bán giá tua là bao nhiêu để doanh thu từ tua xuyên Việt là lớn nhất.

Gọi chiều dài và chiều rộng của miếng phụ lần lượt là x, y. Đường kính của khúc gỗ là d, khi đó tiết diện ngang của thanh xà có độ dài cạnh là \(\frac{d}{{\sqrt 2 }}\) và \(0 < x < \frac{{d\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{4},0 < y < \frac{d}{{\sqrt 2 }}\)

Theo đề Câu ta được hình chữ nhật ABCD như hình vẽ, theo định lý Pitago ta có:

\({\left( {2x + \frac{d}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + {y^2} = {d^2} \Leftrightarrow y = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sqrt {{d^2} - 8{x^2} - 4\sqrt 2 x} \)

Do đó, miếng phụ có diện tích là: \(S\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sqrt {{d^2} - 8{x^2} - 4\sqrt 2 dx} \) với \(0 < x < \frac{{d\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{4}\)

Bài toán trở thành tìm \(x\) để \(S\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

Ta có: \(S'\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sqrt {{d^2} - 8{x^2} - 4\sqrt 2 dx}  + \frac{{x\left( { - 8x - 2\sqrt 2 d} \right)}}{{\sqrt 2 \sqrt {{d^2} - 8{x^2} - 4\sqrt 2 dx} }}\)\( = \frac{{ - 16{x^2} - 6\sqrt 2 dx + {d^2}}}{{\sqrt 2 \sqrt {{d^2} - 8{x^2} - 4\sqrt 2 dx} }}\)

\(S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow  - 16{x^2} - 6\sqrt 2 dx + {d^2} = 0 \Leftrightarrow  - 16{\left( {\frac{x}{d}} \right)^2} - 6\sqrt 2 \left( {\frac{x}{d}} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt {34}  - 3\sqrt 2 }}{{16}}d\)

Vậy miếng phụ có kích thước \(x = \frac{{\sqrt {34}  - 3\sqrt 2 }}{{16}}d,y = \frac{{\sqrt {7 - \sqrt {17} } }}{4}d\)

Gọi \(x\) là giá bán thực tế của mỗi quả bưởi Đoan Hùng, (x: đồng; \(30.000 \le x \le 50.000\) đồng).

Ta có thể lập luận như sau:

Giá 50.000 đồng thì bán được 40 quả bưởi

Giảm giá 5.000 đồng thì bán được thêm 50 quả.

Giảm giá 50.000 – \(x\) thì bán được thêm bao nhiêu quả?

Theo quy tắc tam xuất số quả bán thêm được là: \(\left( {50000 - x} \right).\frac{{50}}{{5000}} = \frac{1}{{100}}\left( {50000 - x} \right)\).

Do đó Số quả bưởi bán được tương ứng với giá bán \(x\): \(40 + \frac{1}{{100}}\left( {50000 - x} \right) =  - \frac{1}{{100}}x + 540\)

Gọi \(F\left( x \right)\) là hàm lợi nhuận thu được (\[F(x)\]: đồng).

Ta có: \(F\left( x \right) = \left( { - \frac{1}{{100}}x + 540} \right).\left( {x - 30.000} \right) =  - \frac{1}{{100}}{x^2} + 840x - 16.200.000\)

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

\(F\left( x \right) =  - \frac{1}{{100}}{x^2} + 840x - 16.200.000\), điều kiện: \(30.000 \le x \le 50.000\).

\(F'\left( x \right) =  - \frac{1}{{50}}x + 840;\,\,F'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow  - \frac{1}{{50}}x + 840 = 0 \Leftrightarrow x = 42.000\)

Vì hàm \(F\left( x \right)\) liên tục trên \(30.000 \le x \le 50.000\) nên ta có:

\(F\left( {30.000} \right) = 0\,;\,\,F\left( {42.000} \right) = 1.440.000\,;\,\,F\left( {50.000} \right) = 800.000\)

Vậy với \(x = 42.000\) thì \(F\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

Vậy để cửa hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất thì giá bán thực tế của mỗi quả bưởi Đoan Hùng là 42.000 đồng.