Câu hỏi:

09/08/2025 5 Lưu

Một màn ảnh hình chữ nhật cao 1,4 mét và đặt ở độ cao 1,8 mét so với tầm mắt (tính từ đầu mép dưới của màn hình). Để nhìn rõ nhất phải xác định vị trí đó? Biết rằng góc \(\widehat {BOC}\) là góc nhọn.

Một màn ảnh hình chữ nhật cao 1,4 mét và đặt ở độ cao 1,8 mét so với tầm mắt (tính từ đầu mép dưới của màn hình) (ảnh 1)

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Chọn A

Đặt độ dài cạnh \(AO = x\)cm, \(\left( {x > 0} \right)\)

Suy ra: \(BO = \sqrt {3,24 + {x^2}} ,CO = \sqrt {10,24 + {x^2}} \)

Ta sử dụng định lí cosin trong tam giác \(OBC\) ta có:

cosBOC^=OB2+OC2BC22.OB.OC=3,24+x2+10,24+x21,9623,24+x210,24+x2=5,76+x23,24+x210,24+x2

Vì góc \(\widehat {BOC}\) là góc nhọn nên bài toán trở thành tìm \(x\) để  \(F\left( x \right) = \frac{{5,76 + {x^2}}}{{\sqrt {\left( {3,24 + {x^2}} \right)\left( {10,24 + {x^2}} \right)} }}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Đặt \(\left( {3,24 + {x^2}} \right) = t,\left( {t > 3,24} \right)\) suy ra \(F\left( t \right) = \frac{{t + \frac{{63}}{{25}}}}{{\sqrt {t\left( {t + 7} \right)} }} = \frac{{25t + 63}}{{25\sqrt {t\left( {t + 7} \right)} }}\)

Ta tìm t để \(F(t)\) nhận giá trị nhỏ nhất.

\(F'\left( t \right) = {\left( {\frac{{25t + 63}}{{25\sqrt {t\left( {t + 7} \right)} }}} \right)^\prime } = \frac{1}{{25}}\left( {\frac{{25\sqrt {t\left( {t + 7} \right)}  - \left( {25t + 63} \right)\left( {\frac{{2t + 7}}{{2\sqrt {t\left( {t + 7} \right)} }}} \right)}}{{t\left( {t + 7} \right)}}} \right)\)

\( = \frac{1}{{25}}\left( {\frac{{50\left( {{t^2} + 7t} \right) - \left( {25t + 63} \right)\left( {2t + 7} \right)}}{{2t\left( {t + 7} \right)\sqrt {t\left( {t + 7} \right)} }}} \right) = \frac{1}{{25}}\left( {\frac{{49t - 441}}{{2t\left( {t + 7} \right)\sqrt {t\left( {t + 7} \right)} }}} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 9\)

Bảng biến thiên:

Một màn ảnh hình chữ nhật cao 1,4 mét và đặt ở độ cao 1,8 mét so với tầm mắt (tính từ đầu mép dưới của màn hình) (ảnh 2)

Thay vào đặt ta có: \(\left( {3,24 + {x^2}} \right) = 9 \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{144}}{{25}} \Leftrightarrow x = 2,4m\)

Vậy để nhìn rõ nhất thì \[AO = 2,4\]m.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Lời giải

Chọn A

Gọi chiều dài và chiều rộng của miếng phụ lần lượt là x, y. Đường kính của khúc gỗ là d, khi đó tiết diện ngang của thanh xà có độ dài cạnh là \(\frac{d}{{\sqrt 2 }}\) và \(0 < x < \frac{{d\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{4},0 < y < \frac{d}{{\sqrt 2 }}\)

Theo đề Câu ta được hình chữ nhật ABCD như hình vẽ, theo định lý Pitago ta có:

\({\left( {2x + \frac{d}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + {y^2} = {d^2} \Leftrightarrow y = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sqrt {{d^2} - 8{x^2} - 4\sqrt 2 x} \)

Do đó, miếng phụ có diện tích là: \(S\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sqrt {{d^2} - 8{x^2} - 4\sqrt 2 dx} \) với \(0 < x < \frac{{d\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{4}\)

Bài toán trở thành tìm \(x\) để \(S\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

Ta có: \(S'\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sqrt {{d^2} - 8{x^2} - 4\sqrt 2 dx}  + \frac{{x\left( { - 8x - 2\sqrt 2 d} \right)}}{{\sqrt 2 \sqrt {{d^2} - 8{x^2} - 4\sqrt 2 dx} }}\)\( = \frac{{ - 16{x^2} - 6\sqrt 2 dx + {d^2}}}{{\sqrt 2 \sqrt {{d^2} - 8{x^2} - 4\sqrt 2 dx} }}\)

\(S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow  - 16{x^2} - 6\sqrt 2 dx + {d^2} = 0 \Leftrightarrow  - 16{\left( {\frac{x}{d}} \right)^2} - 6\sqrt 2 \left( {\frac{x}{d}} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt {34}  - 3\sqrt 2 }}{{16}}d\)

Vậy miếng phụ có kích thước \(x = \frac{{\sqrt {34}  - 3\sqrt 2 }}{{16}}d,y = \frac{{\sqrt {7 - \sqrt {17} } }}{4}d\)

Lời giải

Chọn B

Gọi chiều rộng của bể là \(3x{\rm{ }}\left( m \right)\). Ta có chiều dài bể là \(4x{\rm{ }}(m)\) và chiều cao của bể là \(\frac{2}{{3{x^2}}}{\rm{ }}\left( m \right)\)

Khi đó tổng diện tích bề mặt xây là:

\(T = \left( {3x + 4x} \right).2.\frac{2}{{3{x^2}}} + 2.3x.4x - \frac{2}{9}.3x.4x = \frac{{28}}{{3{x^2}}} + \frac{{64{x^2}}}{3} \ge 2.\sqrt {\frac{{28}}{{3{x^2}}}.\frac{{64{x^2}}}{3}}  = \frac{{32\sqrt 7 }}{3}{\rm{ }}\left( {{m^2}} \right)\).

Chi phí \(C\) (tính theo đồng) xây dựng là: \(C = T.980000 \ge \frac{{32\sqrt 7 }}{3}.980000 \approx 27657000\) (đồng).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP