Ông Nam cần xây dựng một bể nước mưa có thể tích \(V = 8\left( {{m^3}} \right)\) dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài gấp \(\frac{4}{3}\) lần chiều rộng, đáy và nắp đổ bê tông, cốt thép; xung quanh xây bằng gạch và xi măng. Biết rằng chi phí trung bình là 980.000đ\(/{m^2}\) và ở nắp để hở một khoảng hình vuông có diện tích bằng \(\frac{2}{9}\) diện tích nắp bể. Tính chi phí thấp nhất mà ông Nam phải chi trả (làm tròn đến hàng nghìn đồng).

Gọi chiều dài và chiều rộng của miếng phụ lần lượt là x, y. Đường kính của khúc gỗ là d, khi đó tiết diện ngang của thanh xà có độ dài cạnh là \(\frac{d}{{\sqrt 2 }}\) và \(0 < x < \frac{{d\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{4},0 < y < \frac{d}{{\sqrt 2 }}\)

Theo đề Câu ta được hình chữ nhật ABCD như hình vẽ, theo định lý Pitago ta có:

\({\left( {2x + \frac{d}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + {y^2} = {d^2} \Leftrightarrow y = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sqrt {{d^2} - 8{x^2} - 4\sqrt 2 x} \)

Do đó, miếng phụ có diện tích là: \(S\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sqrt {{d^2} - 8{x^2} - 4\sqrt 2 dx} \) với \(0 < x < \frac{{d\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}}{4}\)

Bài toán trở thành tìm \(x\) để \(S\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

Ta có: \(S'\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sqrt {{d^2} - 8{x^2} - 4\sqrt 2 dx}  + \frac{{x\left( { - 8x - 2\sqrt 2 d} \right)}}{{\sqrt 2 \sqrt {{d^2} - 8{x^2} - 4\sqrt 2 dx} }}\)\( = \frac{{ - 16{x^2} - 6\sqrt 2 dx + {d^2}}}{{\sqrt 2 \sqrt {{d^2} - 8{x^2} - 4\sqrt 2 dx} }}\)

\(S'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow  - 16{x^2} - 6\sqrt 2 dx + {d^2} = 0 \Leftrightarrow  - 16{\left( {\frac{x}{d}} \right)^2} - 6\sqrt 2 \left( {\frac{x}{d}} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt {34}  - 3\sqrt 2 }}{{16}}d\)

Vậy miếng phụ có kích thước \(x = \frac{{\sqrt {34}  - 3\sqrt 2 }}{{16}}d,y = \frac{{\sqrt {7 - \sqrt {17} } }}{4}d\)

Gọi \(x\) là giá bán thực tế của mỗi quả bưởi Đoan Hùng, (x: đồng; \(30.000 \le x \le 50.000\) đồng).

Ta có thể lập luận như sau:

Giá 50.000 đồng thì bán được 40 quả bưởi

Giảm giá 5.000 đồng thì bán được thêm 50 quả.

Giảm giá 50.000 – \(x\) thì bán được thêm bao nhiêu quả?

Theo quy tắc tam xuất số quả bán thêm được là: \(\left( {50000 - x} \right).\frac{{50}}{{5000}} = \frac{1}{{100}}\left( {50000 - x} \right)\).

Do đó Số quả bưởi bán được tương ứng với giá bán \(x\): \(40 + \frac{1}{{100}}\left( {50000 - x} \right) =  - \frac{1}{{100}}x + 540\)

Gọi \(F\left( x \right)\) là hàm lợi nhuận thu được (\[F(x)\]: đồng).

Ta có: \(F\left( x \right) = \left( { - \frac{1}{{100}}x + 540} \right).\left( {x - 30.000} \right) =  - \frac{1}{{100}}{x^2} + 840x - 16.200.000\)

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số:

\(F\left( x \right) =  - \frac{1}{{100}}{x^2} + 840x - 16.200.000\), điều kiện: \(30.000 \le x \le 50.000\).

\(F'\left( x \right) =  - \frac{1}{{50}}x + 840;\,\,F'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow  - \frac{1}{{50}}x + 840 = 0 \Leftrightarrow x = 42.000\)

Vì hàm \(F\left( x \right)\) liên tục trên \(30.000 \le x \le 50.000\) nên ta có:

\(F\left( {30.000} \right) = 0\,;\,\,F\left( {42.000} \right) = 1.440.000\,;\,\,F\left( {50.000} \right) = 800.000\)

Vậy với \(x = 42.000\) thì \(F\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

Vậy để cửa hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất thì giá bán thực tế của mỗi quả bưởi Đoan Hùng là 42.000 đồng.