Nhân ngày quốc tế Phụ nữ 20– 10 năm 2024. Ông M đã mua tặng vợ một món quà và đặt nó trong một chiếc hộp chữ nhật có thể tích là 32 (đvtt) có đáy là hình vuông và không nắp. Để món quà trở nên đặc biệt và xứng tầm với giá trị của nó, ông quyết định mạ vàng chiếc hộp, biết rằng độ dày của lớp mạ trên mọi điểm của chiếc hộp là không đổi và như nhau. Gọi chiều cao và cạnh đáy của chiếc hộp lần lượt là \[h\] và \[x\].

a) Công thức tính thể tích chiếc hộp là \[V = {x^2}h\].

b) Diện tích các mặt ngoài của chiếc hộp là \[S = 2{x^2} + 4xh\].

c) Diện tích tất cả các mặt được mạ vàng là \[{S_{MV}} = 2{x^2} + 4xh\].

d) Khi cạnh đáy của chiếc hộp \(x\) lớn hơn \(4\) thì  \[x\] càng lớn, lượng vàng được mạ càng tăng.

Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình dưới.

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

a) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có hai điểm cực trị.

b) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

c) \(f\left( 1 \right) > f\left( 2 \right) > f\left( 4 \right)\).

d) Trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\), giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(f\left( 1 \right)\).

Một tấm kẽm hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(30\;{\rm{cm}}\). Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh \[EF\] và \(GH\) cho đến khi \(AD\) và \(BC\) trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy.

a) Thể tích khối trụ được tính bằng công thức \(V = 30S\) trong đó \(S\) là diện tích của tam giác \(AEG\).

b) Diện tích của tam giác \(AEG\) bằng: \(\sqrt {30} .\sqrt {{{\left( {15 - x} \right)}^2}\left( {2x - 15} \right)} \).

c) Giá trị của \(x\) để thể tích khối lăng trụ lớn nhất là \(x = 10\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

d) Thể tích khối lăng trụ lớn nhất bằng \(1250\,\,\left( {c{m^3}} \right)\).

Nhà máy\(A\) chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy\(B\). Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hằng tháng \(A\) cung cấp cho \(B\) số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của \(B\) (tối đa \(100\) tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là \(x\) tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm được biểu diễn bởi công thức: \(P\left( x \right) = 45 - 0,001{x^2}\) (triệu đồng). Chi phí để \(A\) sản xuất \(x\) tấn sản phẩm trong một tháng là \(C\left( x \right) = 100 + 30x\) triệu đồng (gồm \(100\)triệu đồng chi phí cố định và \(30\) triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm).

a) Chi phí để \(A\) sản xuất \(10\) tấn sản phẩm trong một tháng là \(400\)triệu đồng.                                                         

b) Số tiền \(A\) thu được khi bán \(10\) tấn sản phẩm cho \(B\) là \(600\)triệu đồng.                  

c) Lợi nhuận mà \(A\) thu được khi bán \(x\) tấn sản phẩm \(\left( {0 \le x \le 100} \right)\) cho \(B\) được biểu diễn bởi công thức \(H\left( x \right) =  - 0,001{x^3} + 15x - 100\).

d) Bên \(A\) bán cho \(B\) khoảng \(70,7\) tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận lớn nhất.

Số dân của một thị trấn sau \[t\] năm kể từ năm \[1970\] được ước tính bởi công thức \[f\left( t \right) = \frac{{26t + 10}}{{t + 5}}\] (\[f\left( t \right)\] được tính bằng nghìn người) (Nguồn: Giải tích 12 nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020). Xem \[y = f\left( t \right)\] là một hàm số xác định trên nửa khoảng \[\left[ {0;\, + \infty } \right)\]. Đồ thị hàm số \[y = f\left( t \right)\] có đường tiệm cận ngang là \[y = a\]. Giá trị của \[a\] là bao nhiêu?