Độ bền \(S\) của dầm gỗ hình chữ nhật tỉ lệ với tích của chiều rộng \(w\) và bình phương chiều sâu \(d\) của nó (xem hinh vẽ). Tìm kích thước của dầm gỗ bền nhất có thể được cắt từ một khúc gỗ hình trụ có đường kính bằng 12 inch.

Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình dưới.

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây:

a) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có hai điểm cực trị.

b) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).

c) \(f\left( 1 \right) > f\left( 2 \right) > f\left( 4 \right)\).

d) Trên đoạn \(\left[ { - 1;4} \right]\), giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là \(f\left( 1 \right)\).

Một tấm kẽm hình vuông \(ABCD\) có cạnh bằng \(30\;{\rm{cm}}\). Người ta gập tấm kẽm theo hai cạnh \[EF\] và \(GH\) cho đến khi \(AD\) và \(BC\) trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy.

a) Thể tích khối trụ được tính bằng công thức \(V = 30S\) trong đó \(S\) là diện tích của tam giác \(AEG\).

b) Diện tích của tam giác \(AEG\) bằng: \(\sqrt {30} .\sqrt {{{\left( {15 - x} \right)}^2}\left( {2x - 15} \right)} \).

c) Giá trị của \(x\) để thể tích khối lăng trụ lớn nhất là \(x = 10\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

d) Thể tích khối lăng trụ lớn nhất bằng \(1250\,\,\left( {c{m^3}} \right)\).

Số dân của một thị trấn sau \[t\] năm kể từ năm \[1970\] được ước tính bởi công thức \[f\left( t \right) = \frac{{26t + 10}}{{t + 5}}\] (\[f\left( t \right)\] được tính bằng nghìn người) (Nguồn: Giải tích 12 nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020). Xem \[y = f\left( t \right)\] là một hàm số xác định trên nửa khoảng \[\left[ {0;\, + \infty } \right)\]. Đồ thị hàm số \[y = f\left( t \right)\] có đường tiệm cận ngang là \[y = a\]. Giá trị của \[a\] là bao nhiêu?

Nhà máy\(A\) chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy\(B\). Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hằng tháng \(A\) cung cấp cho \(B\) số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của \(B\) (tối đa \(100\) tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là \(x\) tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm được biểu diễn bởi công thức: \(P\left( x \right) = 45 - 0,001{x^2}\) (triệu đồng). Chi phí để \(A\) sản xuất \(x\) tấn sản phẩm trong một tháng là \(C\left( x \right) = 100 + 30x\) triệu đồng (gồm \(100\)triệu đồng chi phí cố định và \(30\) triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm).

a) Chi phí để \(A\) sản xuất \(10\) tấn sản phẩm trong một tháng là \(400\)triệu đồng.                                                         

b) Số tiền \(A\) thu được khi bán \(10\) tấn sản phẩm cho \(B\) là \(600\)triệu đồng.                  

c) Lợi nhuận mà \(A\) thu được khi bán \(x\) tấn sản phẩm \(\left( {0 \le x \le 100} \right)\) cho \(B\) được biểu diễn bởi công thức \(H\left( x \right) =  - 0,001{x^3} + 15x - 100\).

d) Bên \(A\) bán cho \(B\) khoảng \(70,7\) tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận lớn nhất.