Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}\] trên đoạn \(\left[ {2;4} \right]\)

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\). Hàm số liên tục trên \(\left[ {2;4} \right]\)

Ta có: \[y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}\]\( \Rightarrow \)\(y' = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).

\[y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1 \notin \left[ {2;4} \right]\\x = 3\end{array} \right.\].

Ta có \(y(2) = 7\) ; \(y(3) = 6\);\(y(4) = \frac{{19}}{3}\)

Vậy \[\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} y = 6\].