Gọi \(m\) và \(M\) lần lượt là các giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {e^{2 - 3x}}\) trên đoạn \(\left[ {0\,;\,2} \right].\) Mối liên hệ giữa \(M\) và \(m\) là

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

Đặt \(t = {\cos ^2}x,\) \(t \in \left[ {0\,;\,1} \right]\).

Hàm số viết lại \(y = {t^2} - t + 4\)

\(y' = 2t - 1\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}\)

Ta có \(y\left( 0 \right) = 4,\) \(y\left( 1 \right) = 4,\) \(y\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{{15}}{4}\).

Vậy giá trị lớn nhất là 4.

Ta có \(y' = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 4} \right)\ln 2}} = 0 \Rightarrow x = 0\).

Khi đó: \(y\left( { - 2} \right) = {\log _2}8 = 3;\,\,\,y\left( 0 \right) = {\log _2}4 = 2;\,\,\,y\left( 5 \right) = {\log _2}29\).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \[\left[ { - 2;\,5} \right]\] là \({\log _2}29\).