PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right|\), với \(m\) là tham số.

a) [1] Nếu đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + m\) luôn cắt trục hoành thì giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right|\) bằng 0.

b) [2] Với \(m = 2\), giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right|\) trên đoạn \(\left[ {3;\,\,5} \right]\) bằng 2.

c) [2] Với \(m < 0\), giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right|\) trên đoạn \(\left[ {0;\,\,1} \right]\)bằng \(m\).

d) [3] Biết hàm số \(y = f\left( x \right) = \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right|\) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ { - 2;\,\,2} \right]\) bằng 10. Khi đó tổng các giá trị của tham số \(m\) là \(30\).

a) Đúng

Ta có \(y = f\left( x \right) = \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right| \ge 0\) với mọi giá trị của \(x\).

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \({x^3} - 3{x^2} + m = 0\), tức là phương trình \({x^3} - 3{x^2} + m = 0\) có nghiệm (hay đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + m\) cắt trục hoành).

Do đó, nếu đồ thị của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + m\) luôn cắt trục hoành thì giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right|\) bằng 0.

b) Đúng

Với \(m = 2\) ta có \(f\left( x \right) = \left| {{x^3} - 3{x^2} + 2} \right|\). Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2\) trên đoạn \(\left[ {3;\,\,5} \right]\).

Ta có, \(g'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \notin \left[ {3;\,\,5} \right]\\x = 2 \notin \left[ {3;\,\,5} \right]\end{array} \right.\).

Khi đó, \(g\left( 3 \right) = 2,\,\,g\left( 5 \right) = 52\). Vậy \[\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;\,\,5} \right]} g\left( x \right) = 2\].

Suy ra \[\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;\,\,5} \right]} \left| {g\left( x \right)} \right| = 2\] hay \[\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;\,\,5} \right]} f\left( x \right) = 2\].

 c) Sai

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + m \Rightarrow g'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \in \left[ {0;\,\,1} \right]\\x = 2 \notin \left[ {0;\,\,1} \right]\end{array} \right.\).

Khi đó, \(g\left( 0 \right) = m,\,\,g\left( 1 \right) = m - 2\).

Vì \(m < 0\) nên \(m - 2 < m < 0\), suy ra \(f\left( 0 \right) = \left| m \right| =  - m,\,\,f\left( 1 \right) =  - m + 2\) và \( - m + 2 >  - m > 0\).

Do đó, \[\mathop {Max}\limits_{\left[ {0;\,\,1} \right]} f\left( x \right) =  - m + 2\].

d) Sai

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + m \Rightarrow g'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \in \left[ { - 2;\,\,2} \right]\\x = 2 \in \left[ { - 2;\,\,2} \right]\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow g\left( { - 2} \right) = m - 20,\,\,g\left( 0 \right) = m,\,\,g\left( 2 \right) = m - 4\).

Khi đó, \(\mathop {Max}\limits_{\left[ { - 2;\,\,2} \right]} g\left( x \right) = m,\,\,\,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;\,\,2} \right]} g\left( x \right) = m - 20\).

Suy ra \[\mathop {Max}\limits_{\left[ { - 2;\,\,2} \right]} f\left( x \right) = {\rm{max}}\left\{ {\left| m \right|,\left| {m - 20} \right|} \right\} = 10 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\left| {m - 20} \right| = 10\\\left| {m - 20} \right| \ge \left| m \right|\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\left| m \right| = 10\\\left| m \right| \ge \left| {m - 20} \right|\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 10\\m = 10\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 10\]

Vậy tổng các giá trị của tham số \(m\)bằng 10.