Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Biết bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) như sau

Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) [1] Giá trị lớn nhất của hàm số \[y = f(x)\]trên đoạn \[\left[ { - 1;2} \right]\] là \[f( - 1)\].

b) [2] Giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = f(x)\]trên đoạn \[\left[ { - 1;3} \right]\] là \[f(3)\].

c) [2] Giá trị lớn nhất của hàm số \[h\left( x \right) = f(2x)\]trên đoạn \[\left[ { - 1;1} \right]\] là \[f( - 1)\].

d)  [3] Giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} - 2x} \right) - 3{x^2} + 6x - 5\) trên \(\left[ {0;2} \right]\) là \(f\left( 0 \right) - 2\).

a) Đúng.

Vì hàm số \[y = f(x)\] nghịch biến trên đoạn \[\left[ { - 1;2} \right]\] nên giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn \[\left[ { - 1;2} \right]\] là \[f( - 1) \Rightarrow \]a) Đúng.

b) Sai.

Căn cứ BXD ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại \[x = 2\] nên giá trị lớn nhất của hàm số \[y = f(x)\]trên đoạn \[\left[ { - 1;3} \right]\] là \[f(2) \Rightarrow \] b) Sai.

c) Sai.

 Ta có \[h'\left( x \right) = 2f'(2x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x =  - 1\\2x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - \frac{1}{2}\\x = 1\end{array} \right.\] .

BBT của hàm số \[h\left( x \right) = f(2x)\] là

vậy giá trị lớn nhất của hàm số \[h\left( x \right) = f(2x)\]trên đoạn \[\left[ { - 1;1} \right]\] là \[f( - \frac{1}{2})\]   \( \Rightarrow \) c) Sai.

d) Đúng.

Ta có

\(g'\left( x \right) = \left( {2x - 2} \right)f'\left( {{x^2} - 2x} \right) - 6x + 6 = \left( {2x - 2} \right)\left[ {f'\left( {{x^2} - 2x} \right) - 3} \right]\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 2 = 0\\f'\left( {{x^2} - 2x} \right) - 3 = 0\end{array} \right.\)

Với \(x \in \left[ {0;2} \right] \Rightarrow {x^2} - 2x \in \left[ { - 1;0} \right]\)

Trên \(\left[ { - 1;0} \right]\), \(f'\left( {{x^2} - 2x} \right) \le 0 \Rightarrow f'\left( {{x^2} - 2x} \right) - 3 < 0\)

Do đó \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

Ta có bẳng biến thiên như sau