Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 4x + 16}}{x}\). Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 

Gọi \(x\,\)là độ dài đáy nhỏ của hình thang \(\left( {x > 0} \right)\). Ta có :

Đáy lớn là \(2x\,\).

Chiều cao của hình thang là \(h = \frac{{2S}}{{x + 2x}}\, = \frac{{16}}{x}\).

Độ dài cạnh còn lại của hình thang là \[\sqrt {{x^2} + {{\left( {\frac{{16}}{x}} \right)}^2}} \, = \sqrt {{x^2} + \frac{{256}}{{{x^2}}}} \].

Khi đó \[P\left( x \right) = x + \frac{{16}}{x} + 2x + \sqrt {{x^2} + \frac{{256}}{{{x^2}}}}  = 3x + \sqrt {{x^2} + \frac{{256}}{{{x^2}}}}  + \frac{{16}}{x}\]  (tập xác định \(D = \left( {0;\, + \infty } \right)\)).

Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {3x + \sqrt {{x^2} + \frac{{256}}{{{x^2}}}}  + \frac{{16}}{x}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x\left[ {3 + \sqrt {1 + \frac{{256}}{{{x^4}}}}  + \frac{{16}}{{{x^2}}}} \right] =  + \infty \) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x}\left[ {3{x^2} + \sqrt {{x^4} + 256}  + 16} \right] =  + \infty \) nên đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là trục \(Oy\)

+\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {P\left( x \right) - 4x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\sqrt {{x^2} + \frac{{256}}{{{x^2}}}}  - x + \frac{{16}}{x}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\frac{{256}}{{{x^2}\sqrt {{x^2} + \frac{{256}}{{{x^2}}}}  + x}} + \frac{{16}}{{{x^2}}}} \right] = 0\).

Khi đó đồ thị hàm số có 1 tiệm cận xiên \[y = 4x\].

Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận.

Trường hợp 1: \(m = 1\) ta có hàm số \(y = \frac{{2x + 4}}{{ - 2x - 6}}\) có 2 đường tiệm cận là đường thẳng \(x =  - 3\) và\(y =  - 1\) (không thỏa mãn).

Trường hợp 2: \(m \ne 1\)

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 4}}{{\left( {m - 1} \right){x^2} - 2mx - 6}}\) có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 0\).

Để đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 4}}{{\left( {m - 1} \right){x^2} - 2mx - 6}}\) có 3 đường tiệm cận thì phương trình \(\left( {m - 1} \right){x^2} - 2mx - 6 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác \( - 2\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\\\Delta ' = {m^2} + 6m - 6 > 0\\\left( {m - 1} \right).{\left( { - 2} \right)^2} - 2m.\left( { - 2} \right) - 6 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\\left[ \begin{array}{l}m >  - 3 + \sqrt {15} \\m <  - 3 - \sqrt {15} \end{array} \right.\\8m - 10 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\\left[ \begin{array}{l}m >  - 3 + \sqrt {15} \\m <  - 3 - \sqrt {15} \end{array} \right.\\m \ne \frac{5}{4}\end{array} \right.\) 

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m <  - 3 - \sqrt {15} \\\left\{ \begin{array}{l}m >  - 3 + \sqrt {15} \\m \ne 1\\m \ne \frac{5}{4}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty \,;\, - 3 - \sqrt {15} } \right) \cup \left( { - 3 + \sqrt {15} \,;\,1} \right) \cup \left( {1\,;\,\frac{5}{4}} \right) \cup \left( {\frac{5}{4}\,;\, + \infty } \right)\]

Mà \(m\)nhận giá trị nguyên trên đoạn \(\left[ { - 2025\,;\,2025} \right]\) nên ta có \(m\) nguyên thỏa mãn \( - 2025 \le m \le  - 7\) hoặc \(2 \le m \le 2025\).

Số các giá trị nguyên của \(m\)thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \(\left( { - 7 + 2025 + 1} \right) + \left( {2025 - 2 + 1} \right) = 4043\)

Vậy có 4043 giá trị của \(m\) để đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận.