Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 4x + 16}}{x}\). Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 

Gọi \(x\,\)là độ dài đáy nhỏ của hình thang \(\left( {x > 0} \right)\). Ta có :

Đáy lớn là \(2x\,\).

Chiều cao của hình thang là \(h = \frac{{2S}}{{x + 2x}}\, = \frac{{16}}{x}\).

Độ dài cạnh còn lại của hình thang là \[\sqrt {{x^2} + {{\left( {\frac{{16}}{x}} \right)}^2}} \, = \sqrt {{x^2} + \frac{{256}}{{{x^2}}}} \].

Khi đó \[P\left( x \right) = x + \frac{{16}}{x} + 2x + \sqrt {{x^2} + \frac{{256}}{{{x^2}}}}  = 3x + \sqrt {{x^2} + \frac{{256}}{{{x^2}}}}  + \frac{{16}}{x}\]  (tập xác định \(D = \left( {0;\, + \infty } \right)\)).

Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {3x + \sqrt {{x^2} + \frac{{256}}{{{x^2}}}}  + \frac{{16}}{x}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } x\left[ {3 + \sqrt {1 + \frac{{256}}{{{x^4}}}}  + \frac{{16}}{{{x^2}}}} \right] =  + \infty \) nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

+ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} P\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x}\left[ {3{x^2} + \sqrt {{x^4} + 256}  + 16} \right] =  + \infty \) nên đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng là trục \(Oy\)

+\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {P\left( x \right) - 4x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\sqrt {{x^2} + \frac{{256}}{{{x^2}}}}  - x + \frac{{16}}{x}} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {\frac{{256}}{{{x^2}\sqrt {{x^2} + \frac{{256}}{{{x^2}}}}  + x}} + \frac{{16}}{{{x^2}}}} \right] = 0\).

Khi đó đồ thị hàm số có 1 tiệm cận xiên \[y = 4x\].

Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận.

Đáp án: \( - 9\).

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\{x^2} + 4x + m \ne 0\end{array} \right.\).

Ta có:    là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Đồ thị hàm số có \(3\) đường tiệm cận \( \Leftrightarrow \) Đồ thị hàm số có \(2\) đường tiệm cận đứng \( \Leftrightarrow \) Phương trình \({x^2} + 4x + m = 0\) có 2 nghiệm phân biệt thuộc \(\left( { - \infty ;1} \right]\).

Ta có: \({x^2} + 4x + m = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 4x =  - m\).

Bảng biến thiên của hàm số \(y = g\left( x \right) = {x^2} + 4x\):

Phương trình \({x^2} + 4x + m = 0\) có 2 nghiệm phân biệt thuộc \(\left( { - \infty ;1} \right]\)  \( \Leftrightarrow  - 5 \le m < 4\).

\( \Rightarrow \)\(S = \left\{ { - 5\,;\, - 4\,;\, - 3\,;\, - 2\,;\, - 1\,;\,0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,} \right\}\).

Vậy tổng giá trị các phần tử của tập \(S\) bằng \( - 9\).