Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 4}}{{\left( {m - 1} \right){x^2} - 2mx - 6}}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) trên đoạn \(\left[ { - 2025\,;\,2025} \right]\) để đồ thị hàm số có đúng 3 đường tiệm cận?

Trường hợp 1: \(m = 1\) ta có hàm số \(y = \frac{{2x + 4}}{{ - 2x - 6}}\) có 2 đường tiệm cận là đường thẳng \(x =  - 3\) và\(y =  - 1\) (không thỏa mãn).

Trường hợp 2: \(m \ne 1\)

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 4}}{{\left( {m - 1} \right){x^2} - 2mx - 6}}\) có tiệm cận ngang là đường thẳng \(y = 0\).

Để đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 4}}{{\left( {m - 1} \right){x^2} - 2mx - 6}}\) có 3 đường tiệm cận thì phương trình \(\left( {m - 1} \right){x^2} - 2mx - 6 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác \( - 2\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 \ne 0\\\Delta ' = {m^2} + 6m - 6 > 0\\\left( {m - 1} \right).{\left( { - 2} \right)^2} - 2m.\left( { - 2} \right) - 6 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\\left[ \begin{array}{l}m >  - 3 + \sqrt {15} \\m <  - 3 - \sqrt {15} \end{array} \right.\\8m - 10 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 1\\\left[ \begin{array}{l}m >  - 3 + \sqrt {15} \\m <  - 3 - \sqrt {15} \end{array} \right.\\m \ne \frac{5}{4}\end{array} \right.\) 

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m <  - 3 - \sqrt {15} \\\left\{ \begin{array}{l}m >  - 3 + \sqrt {15} \\m \ne 1\\m \ne \frac{5}{4}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty \,;\, - 3 - \sqrt {15} } \right) \cup \left( { - 3 + \sqrt {15} \,;\,1} \right) \cup \left( {1\,;\,\frac{5}{4}} \right) \cup \left( {\frac{5}{4}\,;\, + \infty } \right)\]

Mà \(m\)nhận giá trị nguyên trên đoạn \(\left[ { - 2025\,;\,2025} \right]\) nên ta có \(m\) nguyên thỏa mãn \( - 2025 \le m \le  - 7\) hoặc \(2 \le m \le 2025\).

Số các giá trị nguyên của \(m\)thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \(\left( { - 7 + 2025 + 1} \right) + \left( {2025 - 2 + 1} \right) = 4043\)

Vậy có 4043 giá trị của \(m\) để đồ thị hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận.