Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc \(\left[ {0\,;\,10} \right]\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{f\left( x \right)}}{{f\left( x \right) - m + 2}}\) có đúng 4 đường tiệm cận?

Đáp án: \( - 9\).

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\{x^2} + 4x + m \ne 0\end{array} \right.\).

Ta có:    là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Đồ thị hàm số có \(3\) đường tiệm cận \( \Leftrightarrow \) Đồ thị hàm số có \(2\) đường tiệm cận đứng \( \Leftrightarrow \) Phương trình \({x^2} + 4x + m = 0\) có 2 nghiệm phân biệt thuộc \(\left( { - \infty ;1} \right]\).

Ta có: \({x^2} + 4x + m = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 4x =  - m\).

Bảng biến thiên của hàm số \(y = g\left( x \right) = {x^2} + 4x\):

Phương trình \({x^2} + 4x + m = 0\) có 2 nghiệm phân biệt thuộc \(\left( { - \infty ;1} \right]\)  \( \Leftrightarrow  - 5 \le m < 4\).

\( \Rightarrow \)\(S = \left\{ { - 5\,;\, - 4\,;\, - 3\,;\, - 2\,;\, - 1\,;\,0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,} \right\}\).

Vậy tổng giá trị các phần tử của tập \(S\) bằng \( - 9\).

a) Sai                b) Sai           c) Đúng                     d) Sai.

Ta có: \(y =  - x - m + \frac{{{m^2} - m + 1}}{{1 - x}}\)

Vì  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - \left( { - x - m} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{m^2} - m + 1}}{{x - 1}} = 0\)  nên đường thẳng \(\left( d \right):y =  - x - m\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số (1).

a)    Với \(m =  - 1\) đồ thị hàm số có tiệm cận xiên \(\left( d \right):y =  - x + 1\), Thay \(x = 2\) vào \(\left( d \right)\) ta được \(y =  - 1\)nên điểm  \(M\left( {2; - 3} \right)\) không thuộc tiệm cận xiên .

b)    Tiệm cận xiên \(\left( d \right):y =  - x - m\) cắt hai trục tọa độ  tại hai điểm \(A\left( {0; - m} \right)\) và \(B\left( { - m;0} \right)\)

Diện tích tam giác \[OAB\]: \(S = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}\left| {{y_A}} \right|.\left| {{x_B}} \right| = \frac{1}{2}{m^2}\).

Theo giả thiết ta có: \(S = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {m^2} = 1 \Leftrightarrow m =  \pm 1\).

c)    Với \(m = 1\) thì đồ thị hàm số có tiệm cận xiên \(\left( d \right):y =  - x - 1\) và tiệm cận đứng \(x = 1\) cắt nhau tại điểm \(I\left( {1; - 2} \right)\) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

d)    Với \(m = 1\) thì đồ thị hàm số có tiệm cận xiên \(\left( d \right):y =  - x - 1\) cắt hai trục tọa độ  tại hai điểm \(A\left( {0; - 1} \right)\) và \(B\left( { - 1;0} \right)\), Tiệm cận xiên và tiệm cận đứng \(x = 1\) cắt nhau tại điểm \(I\left( {1; - 2} \right)\). Tiệm cận đứng cắt trục \(Ox\) tại \(C\left( {1;0} \right)\) Khi đó ta có hình thang vuông \(OAIC\) có diện tích là \(\frac{3}{2}\).