Cho hàm số bậc ba \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên sau.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \(f\left( x \right) = 2m + 1\) có ba nghiệm phân biệt

Ta có\(y' = 3{x^2} - 6x - m\).

Hàm số đồng biến trên khi \(y' \ge 0,\;\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - m \ge 0,\;\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x \ge m,\;\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\;\quad \left( 1 \right)\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 6x\;\)trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Ta có \(f'\left( x \right) = 6x - 6\,,\;f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1.\) Do đó \[\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) =  - 3\]

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow m \le  - 3.\)Kết hợp với giả thiết ta được \(m \in \left( { - 2024; - 3} \right]\). Nên có \[2021\] số nguyên thỏa mãn.

a) Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị \(\left( C \right)\) cắt trục \(Oy\)tại điểm có tung độ bằng \(2\).

b) Dựa vào hình vẽ, ta thấy đồ thị \(\left( C \right)\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x - 1 = 0\).

c) Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\)có hai cực trị trong đó \({y_{CT}} > {y_{C{\rm{D}}}}\).

d) Dựa vào hình vẽ ta thấy Hai đường tiệm cận của đồ thị cùng với trục tạo thành tam giác có diện tích bằng \(S = \frac{1}{2}.4.4 = 8\).