Cho một tấm gỗ hình vuông cạnh \(200cm\). Người ta cắt một tấm gỗ có hình một tam giác vuông \[ABC\] từ tấm gỗ hình vuông đã cho như hình vẽ sau. Biết \[AB = x\left( {cm} \right)\](\[0 < x < 60\]) là một cạnh góc vuông của tam giác \[ABC\] và tổng độ dài cạnh góc vuông \[AB\] với cạnh huyền \[BC\] bằng \[120\]\(cm\). Tìm \[x\] để tam giác \[ABC\] có diện tích lớn nhất.  

Ta có\(y' = 3{x^2} - 6x - m\).

Hàm số đồng biến trên khi \(y' \ge 0,\;\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - m \ge 0,\;\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x \ge m,\;\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\;\quad \left( 1 \right)\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 6x\;\)trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Ta có \(f'\left( x \right) = 6x - 6\,,\;f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1.\) Do đó \[\mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) =  - 3\]

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow m \le  - 3.\)Kết hợp với giả thiết ta được \(m \in \left( { - 2024; - 3} \right]\). Nên có \[2021\] số nguyên thỏa mãn.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{x + 1}}{{x - 2}} =  + \infty \), vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x + 1} \right) = 3\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {x - 2} \right) = 0\,\), \(x - 2 > 0\) khi \(x > 2\)

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng \(x = 2\) nên \(a = 2\).