Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 3}}{{x - 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Xét tính đúng - sai của các phát biểu sau:­

a) Đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) nhận đường thẳng \(y = 2\) là tiệm cận ngang.

b) Đồ thị hàm số \(\left( C \right)\) nhận \(I\left( {2;3} \right)\) là tâm đối xứng.

c) Tiếp tuyến của \(\left( C \right)\)tại giao điểm của \(\left( C \right)\) với \(Oy\)có phương trình \(y =  - 5x - 3\) .

d) Tích khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên \(\left( C \right)\) tới 2 đường tiệm cận của nó luôn bằng \(3\).

Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 3}}{{x - 1}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Xét tính đúng - sai của các phát biểu sau:

a) Tiệm cận ngang của \(\left( C \right)\)là đường thẳng\(y = 2\) nên mệnh đề đúng.

b)  Đồ thị \(\left( C \right)\) có 2 đường tiệm cận là \(x = 1\) và \(y = 2\) nên tâm đối xứng của \(\left( C \right)\) là điểm \(I\left( {1;2} \right)\) nên mệnh đề sai.

c) Giao điểm của \(\left( C \right)\) với \(Oy\) là điểm \(A\left( {0; - 3} \right)\).

   Ta có \(y = \frac{{2x + 3}}{{x - 1}} \Rightarrow y' = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \Rightarrow y'\left( 0 \right) =  - 5\).

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(A\left( {0; - 3} \right)\)là \(y = y'\left( 0 \right)\left( {x - 0} \right) + \left( { - 3} \right) \Leftrightarrow y =  - 5x - 3\) nên mệnh đề đúng.

d) Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là một điểm bất kỳ trên \(\left( C \right)\), suy ra \({y_0} = \frac{{2{x_0} + 3}}{{{x_0} - 1}}\).

Đồ thị \(\left( C \right)\) có 2 đường tiệm cận là \({\Delta _1}:x - 1 = 0\) và \({\Delta _2}:y - 2 = 0\).

Khoảng cách từ \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) tới \({\Delta _1}:x - 1 = 0\) là \({d_1} = \left| {{x_0} - 1} \right|\)

Khoảng cách từ \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) tới \({\Delta _2}:y - 2 = 0\) là \({d_2} = \left| {{y_0} - 2} \right| = \left| {\frac{{2{x_0} + 3}}{{{x_0} - 1}} - 2} \right| = \left| {\frac{5}{{{x_0} - 1}}} \right| = \frac{5}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}}\)

Suy ra \[{d_1}.{d_2} = \left| {{x_0} - 1} \right|.\frac{5}{{\left| {{x_0} - 1} \right|}} = 5\] nên mệnh đề sai.