Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ dưới. Xét hàm số \(g(x) = f({x^3} + x - 1) + {m^2} + 2m\). Gọi \(S\)là tập hợp chứa các giá trị thực của \(m\) để \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g(x) = 3\). Tínhtổng các phần tử của tập \(S\;?\)

a) Ta có  \(y' = 3{x^2} - 3\);   \(y' = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\).

\(f\left( 0 \right) = 2;f\left( 1 \right) = 0\). Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0\,;\,1} \right]} y = 0\).

Chọn ĐÚNG.

b) Ta có \(y' = 3{x^2} - 3\); \(y' = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\).

\(f\left( 0 \right) = 2;f\left( 1 \right) = 0;f\left( 2 \right) = 4\). Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0\,;\,2} \right]} y = f\left( 1 \right)\).

Chọn SAI.

c) Ta có \(y' = 3{x^2} - 3\); \(y' = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1\).

\(f\left( 0 \right) = 2;f\left( 1 \right) = 0;f\left( { - 1} \right) = 4\). Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1\,;\,0} \right]} y = 2;\mathop {\max }\limits_{\left[ {0\,;\,1} \right]} y = 2\). Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1\,;\,0} \right]} y + \mathop {\max }\limits_{\left[ {0\,;\,1} \right]} y = 4\).

Chọn ĐÚNG.

d) Xét hàm số \(g\left( x \right) = \frac{1}{y} = \frac{1}{{{x^3} - 3x + 2}}\) trên \(\left[ {\frac{{ - 3}}{2};0} \right]\), ta có:

\(g'\left( x \right) = \frac{{3{x^2} - 3}}{{{{\left( {{x^3} - 3x + 2} \right)}^2}}}\); \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 1\end{array} \right.\).

\(g\left( { - 1} \right) = \frac{1}{4}\); \(g\left( { - \frac{3}{2}} \right) = \frac{8}{{25}}\); \(g\left( 0 \right) = \frac{1}{2}\).

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - \frac{3}{2};0} \right]} \frac{1}{y} = \frac{1}{4}\).

Chọn SAI.

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

\(y' = f'(x) = 4{x^3} - 4x\).

Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow x =  - 1 \vee x = 0 \vee x = 1.\)

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy

a)    Đúng.

b)    Sai.

c)    Sai.

d)    Đúng.Ta có

\[\begin{array}{l}f(2x) = 16{x^4} - 8{x^2} - 5\\ \Rightarrow f'(2x) = 64{x^3} - 16x\end{array}\]

Cho \(f'(2x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 1}}{2} \vee x = 0 \vee x = \frac{1}{2}\)

Ta có bảng biến thiên sau:

Ta thấy hàm \(y = f(x)\) và \[y = f(2x)\] đều đạt cực đại tại \(x = 0\).