Câu hỏi:

12/10/2025 120 Lưu

Cho tam giác \(ABC\) có trọng tâm \(G\). Khi đó:

a) \(|\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  - 2\overrightarrow {MC} | = |\overrightarrow {AM}  - \overrightarrow {AB} |\) khi và chỉ khi tập hợp điểm \(M\) là đường tròn tâm \(B\), bán kính \(R = CG\).

b) \(2|\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} | = 3|\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} |\) khi và chỉ khi tập hợp điểm \(M\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(GI\) (với \(I\) là trung điểm của \(BC\)).

c) \(|\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} | = 2028\) khi và chỉ khi tập hợp điểm \(M\) là đường tròn tâm \(G\), bán kính \(R = 626\).

d) \(|3\overrightarrow {AM}  - 3\overrightarrow {AC} | = |\overrightarrow {MA}  + 2\overrightarrow {MB} |\) khi và chỉ khi tập hợp điểm \(M\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(IC\) với \(\overrightarrow {AI}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \).

Quảng cáo

Trả lời:

verified Giải bởi Vietjack

a) Sai

b) Đúng

c) Sai

d) Đúng

a) Ta có: \(|\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  - 2\overrightarrow {MC} | = |\overrightarrow {AM}  - \overrightarrow {AB} | \Leftrightarrow |\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  - 3\overrightarrow {MC} | = |\overrightarrow {BM} |\) \( \Leftrightarrow |3\overrightarrow {MG}  - 3\overrightarrow {MC} | = BM \Leftrightarrow |3(\overrightarrow {MG}  - \overrightarrow {MC} )| = BM \Leftrightarrow 3|\overrightarrow {CG} | = BM \Leftrightarrow BM = 3CG\).

Nhận xét: Ba điểm \(B,C,G\) cố định. Vậy tập hợp điểm \(M\) là đường tròn tâm \(B\), bán kính \(R = 3CG\).

b) Ta có: \(2|\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} | = 3|\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} | \Leftrightarrow 2|3\overrightarrow {MG} | = 3|2\overrightarrow {MI} |\)

(với \(I\) là trung điểm của \(BC\) ).

\( \Leftrightarrow 6MG = 6MI \Leftrightarrow MG = MI{\rm{. }}\)

Nhận xét: Hai điểm \(G,I\) cố định. Vậy tập hợp điểm \(M\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(GI\).

c) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(G\) cố định.

Ta có: \(|\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} | = 2028 \Leftrightarrow |3\overrightarrow {MG} | = 2028 \Leftrightarrow 3MG = 2028 \Leftrightarrow MG = 676\).

Vậy tập hợp điểm \(M\) là đường tròn tâm \(G\), bán kính \(R = 676\).

d) Ta có: \(3\overrightarrow {AM}  - 3\overrightarrow {AC}  = 3(\overrightarrow {AM}  - \overrightarrow {AC} ) = 3\overrightarrow {CM} \) (1).

Gọi \(I\) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {AB}  = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AI}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \).

Suy ra \(I\) là điểm cố định. Khi đó:

\(\overrightarrow {MA}  + 2\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA}  + 2(\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} ) = 3\overrightarrow {MI}  + (\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB} ) = 3\overrightarrow {MI}  + \vec 0 = 3\overrightarrow {MI} {\rm{ (2)}}{\rm{. }}\)

Thay (1) và (2) vào hệ thức \(|3\overrightarrow {AM}  - 3\overrightarrow {AC} | = |\overrightarrow {MA}  + 2\overrightarrow {MB} |\), ta được:

\(|3\overrightarrow {CM} | = |3\overrightarrow {MI} | \Leftrightarrow 3CM = 3MI \Leftrightarrow MC = MI.\)

Vậy tập hợp điểm \(M\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(IC\).

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Cho hình bình hành \(ABCD\). Gọi \(E\) và \(F\) là 2 điểm thỏa \(\overrightarrow {BE}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \), \(\overrightarrow {BF (ảnh 1)

Ta phân tích \(\overrightarrow {AE} \) và \(\overrightarrow {AF} \) theo 2 vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \).

\(\overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BE}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} \)

\(\overrightarrow {AF}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BF}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{4}(\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} ) = \frac{3}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} \).

Xét hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} }\\{\overrightarrow {AF}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} }\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} }\\{\frac{4}{3}\overrightarrow {AF}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} }\end{array} \Rightarrow \overrightarrow {AE}  = \frac{4}{3}\overrightarrow {AF} } \right.} \right.\)

Câu 2

A. \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OE} + \overrightarrow {OF} \)                                     
B. \(2\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right) = 3\left( {\overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OE} + \overrightarrow {OF} } \right)\)
C. \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 2\left( {\overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OE} + \overrightarrow {OF} } \right)\)           
D. \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\left( {\overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OE} + \overrightarrow {OF} } \right)\)

Lời giải

Chọn A 

Ta có: \(2\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = 2\overrightarrow {OA}  + 2\overrightarrow {OM}  = 4\overrightarrow {OD} \) (1)

Tương tự \(\overrightarrow {OA}  + 2\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = 4\overrightarrow {OE} \) (2)

\(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + 2\overrightarrow {OC}  = 4\overrightarrow {OF} \) (3)

Cộng vế vói vế (1), (2), (3) ta được đáp án A

Câu 5

A. \[\overrightarrow {MA} = \frac{1}{3}\overrightarrow {MB} \].         
B. \[\overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} \].          
C. \[\overrightarrow {BM} = \frac{3}{4}\overrightarrow {BA} \].                        
D. \[\overrightarrow {MB} = - 3\overrightarrow {MA} \].

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP