Cho tam giác \(ABC\) có trọng tâm \(G\). Khi đó:

a) \(|\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  - 2\overrightarrow {MC} | = |\overrightarrow {AM}  - \overrightarrow {AB} |\) khi và chỉ khi tập hợp điểm \(M\) là đường tròn tâm \(B\), bán kính \(R = CG\).

b) \(2|\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} | = 3|\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} |\) khi và chỉ khi tập hợp điểm \(M\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(GI\) (với \(I\) là trung điểm của \(BC\)).

c) \(|\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} | = 2028\) khi và chỉ khi tập hợp điểm \(M\) là đường tròn tâm \(G\), bán kính \(R = 626\).

d) \(|3\overrightarrow {AM}  - 3\overrightarrow {AC} | = |\overrightarrow {MA}  + 2\overrightarrow {MB} |\) khi và chỉ khi tập hợp điểm \(M\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(IC\) với \(\overrightarrow {AI}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \).

a) Ta có: \(|\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  - 2\overrightarrow {MC} | = |\overrightarrow {AM}  - \overrightarrow {AB} | \Leftrightarrow |\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  - 3\overrightarrow {MC} | = |\overrightarrow {BM} |\) \( \Leftrightarrow |3\overrightarrow {MG}  - 3\overrightarrow {MC} | = BM \Leftrightarrow |3(\overrightarrow {MG}  - \overrightarrow {MC} )| = BM \Leftrightarrow 3|\overrightarrow {CG} | = BM \Leftrightarrow BM = 3CG\).

Nhận xét: Ba điểm \(B,C,G\) cố định. Vậy tập hợp điểm \(M\) là đường tròn tâm \(B\), bán kính \(R = 3CG\).

b) Ta có: \(2|\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} | = 3|\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} | \Leftrightarrow 2|3\overrightarrow {MG} | = 3|2\overrightarrow {MI} |\)

(với \(I\) là trung điểm của \(BC\) ).

\( \Leftrightarrow 6MG = 6MI \Leftrightarrow MG = MI{\rm{. }}\)

Nhận xét: Hai điểm \(G,I\) cố định. Vậy tập hợp điểm \(M\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(GI\).

c) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(G\) cố định.

Ta có: \(|\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} | = 2028 \Leftrightarrow |3\overrightarrow {MG} | = 2028 \Leftrightarrow 3MG = 2028 \Leftrightarrow MG = 676\).

Vậy tập hợp điểm \(M\) là đường tròn tâm \(G\), bán kính \(R = 676\).

d) Ta có: \(3\overrightarrow {AM}  - 3\overrightarrow {AC}  = 3(\overrightarrow {AM}  - \overrightarrow {AC} ) = 3\overrightarrow {CM} \) (1).

Gọi \(I\) thỏa mãn \(\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB}  = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {AB}  = \vec 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AI}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} \).

Suy ra \(I\) là điểm cố định. Khi đó:

\(\overrightarrow {MA}  + 2\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA}  + 2(\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} ) = 3\overrightarrow {MI}  + (\overrightarrow {IA}  + 2\overrightarrow {IB} ) = 3\overrightarrow {MI}  + \vec 0 = 3\overrightarrow {MI} {\rm{ (2)}}{\rm{. }}\)

Thay (1) và (2) vào hệ thức \(|3\overrightarrow {AM}  - 3\overrightarrow {AC} | = |\overrightarrow {MA}  + 2\overrightarrow {MB} |\), ta được:

\(|3\overrightarrow {CM} | = |3\overrightarrow {MI} | \Leftrightarrow 3CM = 3MI \Leftrightarrow MC = MI.\)

Vậy tập hợp điểm \(M\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(IC\).