Cho biểu thức \(C = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{2}{{x - \sqrt x }}} \right):\frac{1}{{\sqrt x  - 1}}\) với \(x > 0\,;\,\;x \ne 1.\) Giá trị nhỏ nhất của \(C\) là

Ta có \(C = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{2}{{x - \sqrt x }}} \right):\frac{1}{{\sqrt x  - 1}}\)

\( = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)\)

\( = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}} \cdot \left( {\sqrt x  - 1} \right) = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }}.\)

Khi đó \(C = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }}\) với \(x > 0\,;\,\;x \ne 1.\)

Xét \(C = \frac{{x + 2}}{{\sqrt x }} = \frac{x}{{\sqrt x }} + \frac{2}{{\sqrt x }} = \sqrt x  + \frac{2}{{\sqrt x }}\).

Với \(x > 0\,;\,\;x \ne 1,\) áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương \(\sqrt x \) và \(\frac{2}{{\sqrt x }}\), ta được:

\(C = \sqrt x  + \frac{2}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt 2 .\)

Dấu  xảy ra khi \(\sqrt x  = \frac{2}{{\sqrt x }}\) hay \(x = 2\) (thỏa mãn).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(C\) là \(2\sqrt 2 \) khi \(x = 2\).