Với \(a > 0\,;\,\,b > 0\), cho biểu thức \(M = \sqrt {\frac{a}{b}}  + \frac{a}{b} \cdot \sqrt {\frac{b}{a}} .\)

a) Kết quả rút gọn biểu thức là \(\sqrt {\frac{{2a}}{b}} \).

b) Giá trị của biểu thức \(M\) với \[a = 1\,;\,\,\,b = 2\] là \[\sqrt 2 \].

c) Biết \[b \cdot M = 1\], khi đó tích \[ab = \frac{1}{2}\].

d) Nếu \[a = b\] thì giá trị biểu thức \[M = 2\].

a) Đúng. \(N = \frac{{{{\left( {\sqrt 3  + \sqrt 2 } \right)}^2}}}{{3 - 2}} + \frac{{{{\left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right)}^2}}}{{3 - 2}} = 5 + 2\sqrt 6  + 5 - 2\sqrt 6  = 10.\)

Do đó, kết quả phép tính \[N\] là một số nguyên.

b) Đúng. \(P = \frac{3}{{\sqrt 8  + \sqrt 5 }} + \frac{{5 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 5  - 1}} = \frac{{3\left( {\sqrt 8  - \sqrt 5 } \right)}}{{{{\left( {\sqrt 8 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}} + \frac{{\sqrt 5 \left( {\sqrt 5  - 1} \right)}}{{\sqrt 5  - 1}}\)

\( = \sqrt 8  - \sqrt 5  + \sqrt 5  = \sqrt 8  = 2\sqrt 2 .\)

c) Sai. Vì \[N = 10\,;\,\,\,P = 2\sqrt 2 \]nên \[N < 5P\].

d) Sai. Ta có \[2{x^2} - 20\sqrt 2 x = 0\]

\[2x\left( {x - 10\sqrt 2 } \right) = 0\]

\[x = 0\] hoặc \[x = 10\sqrt 2 \].

Vậy giá trị của biểu thức \[N,\,\,P\] không phải là nghiệm của phương trình \[2{x^2} - 20\sqrt 2 x = 0.\]

a) Đúng. Với \[x > 0\,;\,\,x \ne 16\], ta có:

\[B = \left( {\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 4}} + \frac{4}{{\sqrt x  - 4}}} \right):\frac{{x + 16}}{{x + 4\sqrt x }}\]

\[ = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 4} \right) + 4\left( {\sqrt x  + 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 4} \right)\left( {\sqrt x  - 4} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 4} \right)}}{{x + 16}}\]

\[ = \frac{{x + 16}}{{\left( {\sqrt x  + 4} \right)\left( {\sqrt x  - 4} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 4} \right)}}{{x + 16}}\]\[ = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 4}}.\]

b) Sai. Thay \[x = \sqrt {3 - 2\sqrt 2 } \] (TMĐK) vào biểu thức ta có:

\[B = \frac{{\sqrt {3 - 2\sqrt 2 } }}{{\sqrt {3 - 2\sqrt 2 }  - 4}} = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)}^2}}  - 4}} = \frac{{\sqrt 2  - 1}}{{\sqrt 2  - 1 - 4}} = \frac{{\left( {\sqrt 2  - 1} \right)\left( {\sqrt 2  + 5} \right)}}{{2 - 25}} = \frac{{3 - 4\sqrt 2 }}{{23}}.\]

c) Đúng. Với \[x > 0\,;\,\,x \ne 16\], ta có: \[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 4}}\].

Khi \[x\] là một số chính phương thì \[\sqrt x  \in \mathbb{Z}\] thì \[\sqrt x  \in \mathbb{Z}\] và \[\sqrt x  - 4 \in \mathbb{Z}.\]

Do đó \[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 4}} \in \mathbb{Q}.\]

d) Đúng. Khi \[x > 16\] thì \[\sqrt x  > 0\] và \[\sqrt x  - 4 > 0\]. Do đó \[B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 4}} > 0.\]