Với \(a > 0\,;\,\,b > 0\), cho biểu thức \(M = \sqrt {\frac{a}{b}}  + \frac{a}{b} \cdot \sqrt {\frac{b}{a}} .\)

a) Kết quả rút gọn biểu thức là \(\sqrt {\frac{{2a}}{b}} \).

b) Giá trị của biểu thức \(M\) với \[a = 1\,;\,\,\,b = 2\] là \[\sqrt 2 \].

c) Biết \[b \cdot M = 1\], khi đó tích \[ab = \frac{1}{2}\].

d) Nếu \[a = b\] thì giá trị biểu thức \[M = 2\].

a) Sai. Ta có \(M = \frac{{\sqrt {ab} }}{{\left| b \right|}} + \frac{a}{b} \cdot \frac{{\sqrt {ab} }}{{\left| a \right|}} = \frac{{\sqrt {ab} }}{b} + \frac{a}{b} \cdot \frac{{\sqrt {ab} }}{a} = \frac{{\sqrt {ab} }}{b} + \frac{{\sqrt {ab} }}{b} = \frac{{2\sqrt {ab} }}{b}.\)

b) Đúng. Thay \[a = 1\,;\,\,\,b = 2\] vào biểu thức \(M\), ta được: \[M = \frac{{2\sqrt {1 \cdot 2} }}{2} = \sqrt 2 .\]

c) Sai. Ta có \[b \cdot M = 1\] hay \[b \cdot \frac{{2\sqrt {ab} }}{b} = 1\] nên \[2\sqrt {ab}  = 1\], suy ra \[\sqrt {ab}  = \frac{1}{2},\] do đó \[ab = \frac{1}{4}.\]

d) Đúng. Vì \[a = b\] nên ta có \[M = \frac{{2\sqrt {{a^2}} }}{a} = \frac{{2{\rm{a}}}}{a} = 2\].