Cho hai hàm số \(y = {x^2}\) và \(y = mx + 4\), với \(m\) là tham số.

a) Khi \(m = 3\), tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị hàm số trên.

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị \(m\), đồ thị của hai hàm số đã cho luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt \({A_1}\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \({A_2}\left( {{x_2};{y_2}} \right)\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) sao cho \({\left( {{y_1}} \right)^2} + {\left( {{y_2}} \right)^2} = {7^2}\) .

a) Phương trình hoành độ giao điểm của \(y = {x^2}\) và \(y = mx + 4\) là \[{x^2} = mx + 4\]

\( \Leftrightarrow {x^2} - mx - 4 = 0\) (1)

Thay \(m = 3\) vào phương trình (1) ta có: \({x^2} - 3x - 4 = 0\)

Ta có: \(a - b + c = 1 - \left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right) = 0\)

Vậy phương trình \({x^2} - 3x - 4 = 0\)có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 4\end{array} \right.\) .

Với \(x =  - 1 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow A( - 1;1)\).

Với \(x = 4 \Rightarrow y = 16 \Rightarrow B\left( {4;16} \right)\).

Vậy với \(m = 3\) thì hai đồ thị hàm số giao nhau tại 2 điểm \(A( - 1;1)\) và \(B\left( {4;16} \right)\).

b) Ta có số giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là số nghiệm của phương trình (1)

Phương trình (1) có: \(\Delta  = {m^2} - 4.\left( { - 4} \right) = {m^2} + 16 > 0\,\forall m \in \mathbb{R}\).

Do đó (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\).

Vậy đồ thị của hai hàm số đã cho luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt \({A_1}\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \({A_2}\left( {{x_2};{y_2}} \right)\)với mọi \(m\).

Theo hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}.{x_2} =  - 4\end{array} \right.\) .

Ta lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}{y_1} = {x_1}^2\\{y_2} = {x_2}^2\end{array} \right.\)

Theo đề, ta có:

\({\left( {{y_1}} \right)^2} + {\left( {{y_2}} \right)^2} = {7^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x_1}^2} \right)^2} + {\left( {{x_2}^2} \right)^2} = 49\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x_1}^2} \right)^2} + 2{x_1}^2{x_2}^2 + {\left( {{x_2}^2} \right)^2} - 2\left( {{x_1}^2{x_2}^2} \right) = 49\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2} \right)^2} - 2{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} = 49\)

\( \Leftrightarrow {\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]^2} - 2{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} = 49\)

\( \Leftrightarrow {\left[ {{m^2} - 2.\left( { - 4} \right)} \right]^2} - 2.{\left( { - 4} \right)^2} = 49\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{m^2} + 8} \right)^2} = 81\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} + 8 = 9\\{m^2} + 8 =  - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow {m^2} + 8 = 9\left( {{\rm{do }}{m^2} + 8 > 0\forall m} \right)\)

\( \Leftrightarrow m =  \pm 1\)

Vậy với \(m = 1\); \(m =  - 1\) thì \({\left( {{y_1}} \right)^2} + {\left( {{y_2}} \right)^2} = {7^2}\).