Cho nửa đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB\) và \(C\) là một điểm trên nửa đường tròn (\(C\) khác \(A\) và \(B\)). Trên cung \(AC\) lấy điểm \(D\) (\(D\) khác \(A\) và \(C\)). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(C\) trên \(AB\) và \(E\) là giao điểm của \(BD\) và \(CH\).

a) Chứng minh \(ADEH\) là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh rằng \(\widehat {ACO} = \widehat {HCB}\) và \(AB.AC = AC.AH + CB.CH\).

c) Trên đoạn \(OC\) lấy điểm \(M\) sao cho \(OM = CH\). Chứng minh rằng khi \(C\) chạy trên nửa đường tròn đã cho thì \(M\) chạy trên một đường tròn cố định.

a) Ta có \(\widehat {ADE} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) và \(\widehat {AHE} = 90^\circ \) (\(H\) là hình chiếu vuông góc của \(C\) trên \(AB\))

\( \Rightarrow \widehat {ADE} + \widehat {AHE} = 180^\circ \).

Vậy tứ giác \(ADEH\) nội tiếp.

b) Ta có: \(\widehat {ACO} = \widehat {CAO}\) (tam giác \(AOC\) cân tại \(O\)).

Mà \(\widehat {CAO} = \widehat {HCB}\) (cùng phụ \(\widehat {ABC}\))

Vậy \(\widehat {ACO} = \widehat {HCB}\).

Xét \(\Delta ACB\) và \(\Delta CHB\) có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {CAO} = \widehat {HCB}\left( {{\rm{cmt}}} \right)\\\widehat {ACB} = \widehat {CHB\,\,}\left( { = 90^\circ } \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \frac{{AC}}{{CH}} = \frac{{CB}}{{HB}}\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

\( \Rightarrow AC.HB = CB.CH\)

\( \Rightarrow AC.\left( {AB - AH} \right) = CB.CH\)

\( \Rightarrow AC.AB = AC.AH + CB.CH\).

c) Gọi \(K\) là điểm chính giữa cung \(AB\), ta có \(OK \bot OB\) suy ra \(OK\)//\(CH\).

\( \Rightarrow \widehat {KOM} = \widehat {OCH}\) (2 góc so le trong).

Xét \(\Delta OMK\)và \(\Delta CHO\) có:

\(\left\{ \begin{array}{l}OM = CH\left( {{\rm{gt}}} \right)\\\widehat {KOM} = \widehat {OCH}\left( {{\rm{cmt}}} \right)\\OK = OC\,\,\,\,\,\left( {{\rm{b\'a n}}\,\,{\rm{k\'i nh}}} \right)\end{array} \right.\)

\[ \Rightarrow \Delta OMK = \Delta CHO{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)\]

\( \Rightarrow \widehat {KMO} = \widehat {CHO} = 90^\circ \).

Do đó, góc \[KMO\] luôn nhìn cạnh \[OK\] dưới một góc vuông nên \[M\] thuộc đường tròn đường kính \(OK\).

Vì nửa đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB\) cố định nên điểm chính giữa cung \(AB\) là \[K\] cố định hay \[OK\] luôn cố định.

Vậy khi \(C\) di chuyển trên nửa đường tròn \[\left( O \right)\] thì \(M\) chạy trên đường tròn đường kính (OK\)cố định.