Cho nửa đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB\) và \(C\) là một điểm trên nửa đường tròn (\(C\) khác \(A\) và \(B\)). Trên cung \(AC\) lấy điểm \(D\) (\(D\) khác \(A\) và \(C\)). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(C\) trên \(AB\) và \(E\) là giao điểm của \(BD\) và \(CH\).

a) Chứng minh \(ADEH\) là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh rằng \(\widehat {ACO} = \widehat {HCB}\) và \(AB.AC = AC.AH + CB.CH\).

c) Trên đoạn \(OC\) lấy điểm \(M\) sao cho \(OM = CH\). Chứng minh rằng khi \(C\) chạy trên nửa đường tròn đã cho thì \(M\) chạy trên một đường tròn cố định.

a) Phương trình hoành độ giao điểm của \(y = {x^2}\) và \(y = mx + 4\) là \[{x^2} = mx + 4\]

\( \Leftrightarrow {x^2} - mx - 4 = 0\) (1)

Thay \(m = 3\) vào phương trình (1) ta có: \({x^2} - 3x - 4 = 0\)

Ta có: \(a - b + c = 1 - \left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right) = 0\)

Vậy phương trình \({x^2} - 3x - 4 = 0\)có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 4\end{array} \right.\) .

Với \(x =  - 1 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow A( - 1;1)\).

Với \(x = 4 \Rightarrow y = 16 \Rightarrow B\left( {4;16} \right)\).

Vậy với \(m = 3\) thì hai đồ thị hàm số giao nhau tại 2 điểm \(A( - 1;1)\) và \(B\left( {4;16} \right)\).

b) Ta có số giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là số nghiệm của phương trình (1)

Phương trình (1) có: \(\Delta  = {m^2} - 4.\left( { - 4} \right) = {m^2} + 16 > 0\,\forall m \in \mathbb{R}\).

Do đó (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\).

Vậy đồ thị của hai hàm số đã cho luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt \({A_1}\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \({A_2}\left( {{x_2};{y_2}} \right)\)với mọi \(m\).

Theo hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}.{x_2} =  - 4\end{array} \right.\) .

Ta lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}{y_1} = {x_1}^2\\{y_2} = {x_2}^2\end{array} \right.\)

Theo đề, ta có:

\({\left( {{y_1}} \right)^2} + {\left( {{y_2}} \right)^2} = {7^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x_1}^2} \right)^2} + {\left( {{x_2}^2} \right)^2} = 49\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x_1}^2} \right)^2} + 2{x_1}^2{x_2}^2 + {\left( {{x_2}^2} \right)^2} - 2\left( {{x_1}^2{x_2}^2} \right) = 49\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2} \right)^2} - 2{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} = 49\)

\( \Leftrightarrow {\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]^2} - 2{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} = 49\)

\( \Leftrightarrow {\left[ {{m^2} - 2.\left( { - 4} \right)} \right]^2} - 2.{\left( { - 4} \right)^2} = 49\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{m^2} + 8} \right)^2} = 81\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} + 8 = 9\\{m^2} + 8 =  - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow {m^2} + 8 = 9\left( {{\rm{do }}{m^2} + 8 > 0\forall m} \right)\)

\( \Leftrightarrow m =  \pm 1\)

Vậy với \(m = 1\); \(m =  - 1\) thì \({\left( {{y_1}} \right)^2} + {\left( {{y_2}} \right)^2} = {7^2}\).

\(A = \sqrt 8  + \sqrt {18}  - \sqrt {32} \)

\( = \sqrt {{{2.2}^2}}  + \sqrt {{{2.3}^2}}  - \sqrt {{{2.4}^2}} \)

\( = 2\sqrt 2  + 3\sqrt 2  - 4\sqrt 2 \)

\( = \sqrt 2 \).