Một đội xe cần vận chuyển \(160\) tấn gạo với khối lượng gạo mỗi xe chở bằng nhau. Khi sắp khởi hành thì được bổ sung thêm \(4\) xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn dự định lúc đầu \(2\) tấn gạo (khối lượng gạo mỗi xe chở vẫn bằng nhau). Hỏi đội xe ban đầu có bao nhiêu chiếc?

a) Phương trình hoành độ giao điểm của \(y = {x^2}\) và \(y = mx + 4\) là \[{x^2} = mx + 4\]

\( \Leftrightarrow {x^2} - mx - 4 = 0\) (1)

Thay \(m = 3\) vào phương trình (1) ta có: \({x^2} - 3x - 4 = 0\)

Ta có: \(a - b + c = 1 - \left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right) = 0\)

Vậy phương trình \({x^2} - 3x - 4 = 0\)có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 4\end{array} \right.\) .

Với \(x =  - 1 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow A( - 1;1)\).

Với \(x = 4 \Rightarrow y = 16 \Rightarrow B\left( {4;16} \right)\).

Vậy với \(m = 3\) thì hai đồ thị hàm số giao nhau tại 2 điểm \(A( - 1;1)\) và \(B\left( {4;16} \right)\).

b) Ta có số giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là số nghiệm của phương trình (1)

Phương trình (1) có: \(\Delta  = {m^2} - 4.\left( { - 4} \right) = {m^2} + 16 > 0\,\forall m \in \mathbb{R}\).

Do đó (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\).

Vậy đồ thị của hai hàm số đã cho luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt \({A_1}\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \({A_2}\left( {{x_2};{y_2}} \right)\)với mọi \(m\).

Theo hệ thức Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}.{x_2} =  - 4\end{array} \right.\) .

Ta lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}{y_1} = {x_1}^2\\{y_2} = {x_2}^2\end{array} \right.\)

Theo đề, ta có:

\({\left( {{y_1}} \right)^2} + {\left( {{y_2}} \right)^2} = {7^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x_1}^2} \right)^2} + {\left( {{x_2}^2} \right)^2} = 49\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x_1}^2} \right)^2} + 2{x_1}^2{x_2}^2 + {\left( {{x_2}^2} \right)^2} - 2\left( {{x_1}^2{x_2}^2} \right) = 49\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{x_1}^2 + {x_2}^2} \right)^2} - 2{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} = 49\)

\( \Leftrightarrow {\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]^2} - 2{\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} = 49\)

\( \Leftrightarrow {\left[ {{m^2} - 2.\left( { - 4} \right)} \right]^2} - 2.{\left( { - 4} \right)^2} = 49\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{m^2} + 8} \right)^2} = 81\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} + 8 = 9\\{m^2} + 8 =  - 9\end{array} \right. \Leftrightarrow {m^2} + 8 = 9\left( {{\rm{do }}{m^2} + 8 > 0\forall m} \right)\)

\( \Leftrightarrow m =  \pm 1\)

Vậy với \(m = 1\); \(m =  - 1\) thì \({\left( {{y_1}} \right)^2} + {\left( {{y_2}} \right)^2} = {7^2}\).