Một đội xe cần vận chuyển \(160\) tấn gạo với khối lượng gạo mỗi xe chở bằng nhau. Khi sắp khởi hành thì được bổ sung thêm \(4\) xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn dự định lúc đầu \(2\) tấn gạo (khối lượng gạo mỗi xe chở vẫn bằng nhau). Hỏi đội xe ban đầu có bao nhiêu chiếc?

a) Ta có \(\widehat {ADE} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) và \(\widehat {AHE} = 90^\circ \) (\(H\) là hình chiếu vuông góc của \(C\) trên \(AB\))

\( \Rightarrow \widehat {ADE} + \widehat {AHE} = 180^\circ \).

Vậy tứ giác \(ADEH\) nội tiếp.

b) Ta có: \(\widehat {ACO} = \widehat {CAO}\) (tam giác \(AOC\) cân tại \(O\)).

Mà \(\widehat {CAO} = \widehat {HCB}\) (cùng phụ \(\widehat {ABC}\))

Vậy \(\widehat {ACO} = \widehat {HCB}\).

Xét \(\Delta ACB\) và \(\Delta CHB\) có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {CAO} = \widehat {HCB}\left( {{\rm{cmt}}} \right)\\\widehat {ACB} = \widehat {CHB\,\,}\left( { = 90^\circ } \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \frac{{AC}}{{CH}} = \frac{{CB}}{{HB}}\) (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

\( \Rightarrow AC.HB = CB.CH\)

\( \Rightarrow AC.\left( {AB - AH} \right) = CB.CH\)

\( \Rightarrow AC.AB = AC.AH + CB.CH\).

c) Gọi \(K\) là điểm chính giữa cung \(AB\), ta có \(OK \bot OB\) suy ra \(OK\)//\(CH\).

\( \Rightarrow \widehat {KOM} = \widehat {OCH}\) (2 góc so le trong).

Xét \(\Delta OMK\)và \(\Delta CHO\) có:

\(\left\{ \begin{array}{l}OM = CH\left( {{\rm{gt}}} \right)\\\widehat {KOM} = \widehat {OCH}\left( {{\rm{cmt}}} \right)\\OK = OC\,\,\,\,\,\left( {{\rm{b\'a n}}\,\,{\rm{k\'i nh}}} \right)\end{array} \right.\)

\[ \Rightarrow \Delta OMK = \Delta CHO{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)\]

\( \Rightarrow \widehat {KMO} = \widehat {CHO} = 90^\circ \).

Do đó, góc \[KMO\] luôn nhìn cạnh \[OK\] dưới một góc vuông nên \[M\] thuộc đường tròn đường kính \(OK\).

Vì nửa đường tròn tâm \(O\) đường kính \(AB\) cố định nên điểm chính giữa cung \(AB\) là \[K\] cố định hay \[OK\] luôn cố định.

Vậy khi \(C\) di chuyển trên nửa đường tròn \[\left( O \right)\] thì \(M\) chạy trên đường tròn đường kính (OK\)cố định.