Cho \(\Delta ABC\) có ba góc nhọn, \(O\) là giao điểm hai đường trung trực của \(AB\) và \(AC\). Trên tia đối của tia \(OB\) lấy điểm \(D\) sao cho \(OB = OD.\)

Khi đó:

a) Đúng.

Vì \(O\) là giao điểm hai đường trung trực của \(AB\) và \(AC\) nên \(O\) cách đều ba đỉnh trong \(\Delta ABC\).

Do đó \(OA = OB = OC\).

Mà theo giả thiết, có: \(OB = OD.\)

Suy ra \(OA = OD\) nên \(O\) thuộc trung trực của \(AD\).

Và \(OC = OD\) nên \(O\) thuộc trung trực của \(CD\).

b) Đúng.

Vì \(OA = OB = OD\) hay ta có \(AO = \,\frac{1}{2}BD\).

Có đường trung tuyến \(AO\) trong tam giác \(\Delta ADB\) bằng một nửa cách \(DB\) nên \(\Delta ADB\) vuông tại \(A\).

c) Đúng.

Ta có: \(\Delta BOC\) cân tại \(O\) nên \(\widehat {BCO} = \frac{{180^\circ - \widehat {BOC}}}{2}\).

\(\Delta COD\)cân tại \(O\) nên \(\widehat {DCO} = \frac{{180^\circ - \widehat {DOC}}}{2}\).

Do đó, \(\widehat {BCD} = \widehat {DCO} + \widehat {BCO} = \frac{{180^\circ - \widehat {DOC} + 180^\circ - \widehat {BOC}}}{2} = \frac{{360^\circ - \widehat {BOD}}}{2} = \frac{{360^\circ - 180^\circ }}{2} = 90^\circ \).

Do đó, \(\widehat {BCD} = 90^\circ \).

d) Sai.

Có \(\Delta ABD\) vuông tại \(A\) nên \(\widehat {ADB} = 90^\circ - \widehat {ABD}\).

\(\Delta BCD\) vuông tại \(C\) nên \(\widehat {BDC} = 90^\circ - \widehat {CBD}\).

Do đó, \[\widehat {ADO} + \widehat {ODC} = 180^\circ - \left( {\widehat {ABO} + \widehat {CBO}} \right)\]

Suy ra \(\widehat {ADC} = 180^\circ - \widehat {ABC} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \).