Cho tam giác \(ABC\) đều. Gọi \(D\) là điểm nằm giữa \(A,\,\,B\) và \(E\) là điểm nằm giữa \(A,\,\,C\) sao cho \(BD = AE\). Gọi \(O\) là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác \(ABC\).

Khi đó:

a) Đúng.

Vì điểm \(O\) là giao điểm các đường trung trực của \(\Delta ABC\) nên \(O\) thuộc đường trung trực của \(BC.\)

\(\Delta ABC\) cân tại \(A\), suy ra \(AB = AC\) nên \(A\) thuộc đường trung trực của \(BC.\)

Do đó, \(OA\) là đường trung trực của \(BC.\)

b) Sai.

Xét \(\Delta HBD\) và \(\Delta ECK\) có:

\(\widehat {BHD} = \widehat {CKE} = 90^\circ \)

\(BH = CK\)

\(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (\(\Delta ABC\) cân tại \(A\))

Do đó, \(\Delta HBD = \Delta KCE\) (g.c.g)

c) Đúng.

Vì \(\Delta HBD = \Delta KCE\) (cmt) nên \(BD = CE\) (hai cạnh tương ứng).

d) Đúng.

\(\Delta HBD = \Delta KCE\) (cmt) suy ra \(\widehat {HDB} = \widehat {KEC}\) (hai góc tương ứng)

Mà \(\widehat {ODE},\,\,\widehat {OED}\) lần lượt là hai góc đối đỉnh với \(\widehat {HDB},\,\,\widehat {KEC}\).

Suy ra \(\widehat {ODE} = \widehat {OED}\).

Do đó, \(\Delta ODE\) cân tại \(O.\)

a) Đúng.

Ta chứng minh được \(\Delta OAB = \Delta OAC\) (c.c.c) nên \(\widehat {OAB} = \widehat {OAC}\) (hai cạnh tương ứng).

b) Sai.

Ta có: \(AM = AN = AB + BM = AC + CN\) (\(AB = AC;\,\,AM = AN\))

\(\widehat {MAO} = \widehat {NAO}\) (cmt)

\(AO\) chung (gt)

Do đó, \(\Delta OAM = \Delta OAN\) (c.g.c)

c) Đúng.

Vì \(\Delta OAM = \Delta OAN\) (cmt) nên \(OM = ON\) (hai cạnh tương ứng).

Do đó, \(\Delta OMN\) cân tại \(O\).

d) Đúng.

Vì trung trực của \(OM,\,\,ON\) cắt nhau tại \(I\) nên \(I\) là giao điểm của ba đường trung trực trong \(\Delta MNO\)

Do đó, \(OI\) là đường trung trực của \(\Delta MNO\).