Một chiếc thuyền chạy xuôi dòng sông từ A đến B rồi chạy ngược dòng từ B về A hết tất cả 4 giờ 24 phút. Quãng đường sông AB dài 60 km và vận tốc dòng nước là 2,5 km/h. Gọi x (km/h, x > 2,5) là vận tốc thực của thuyền, khi đó

Đáp án đúng là: B

Gọi số đèn lồng nhóm thợ phải làm mỗi ngày theo kế hoạch là x (đèn) (x > 0).

Theo kế hoạch, nhóm thợ cần làm hết 1200 chiếc đèn trong \(\frac{{1200}}{x}\) (ngày).

Trong 12 ngày làm theo kế hoạch, nhóm thợ làm được 12x (đèn).

Số đèn còn lại sau 12 ngày đó là 1200 – 12x (đèn).

Sau khi có thêm người, mỗi ngày nhóm thợ làm được x + 20 (đèn).

Thời gian làm số đèn còn lại là \(\frac{{1200 - 12x}}{{x + 20}}\) (ngày).

Theo bài, nhóm thợ hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày nên ta có phương trình:

\(\frac{{1200}}{x} = 12 + \frac{{1200 - 12x}}{{x + 20}} + 2.\)

Giải phương trình:

\(\frac{{1200}}{x} = 12 + \frac{{1200 - 12x}}{{x + 20}} + 2\)

\[\frac{{1200}}{x} - \frac{{1200 - 12x}}{{x + 20}} = 14\]

\[\frac{{1200\left( {x + 20} \right) - x\left( {1200 - 12x} \right)}}{{x\left( {x + 20} \right)}} = 14\]

\[\frac{{12{x^2} + 2\,\,4000}}{{x\left( {x + 20} \right)}} = 14\]

12x² + 24 000 = 14x(x + 20)

12x² + 24 000 = 14x² + 280x

2x² + 280x – 24 000 = 0

x² + 140x – 12 000 = 0.

Phương trình trên có ∆' = 70² – 1.(–12 000) = 16 900 > 0 và \(\sqrt {\Delta '} = \sqrt {16\,\,900} = 130.\)

Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{ - 70 - 130}}{1} = - 200\) (không thỏa mãn);

\({x_2} = \frac{{ - 70 + 130}}{1} = 60\) (thỏa mãn).

Vậy theo kế hoạch thì mỗi ngày nhóm thộ phải làm 60 chiếc đèn lồng.

Đáp án đúng là: D

Gọi chiều dài ban đầu của mảnh đất là x (m) (x > 0).

Chiều rộng ban đầu của mảnh đất là \[\frac{{720}}{x}\] (m).

Chiều dài của mảnh đất nếu tăng thêm 6 m là: x + 6 (m).

Chiều rộng của mảnh đất nếu giảm đi 4 m là: \[\frac{{720}}{x} - 4\] (m).

Diện tích của mảnh đất sau khi thay đổi kích thước là: \[\left( {x + 6} \right)\left( {\frac{{720}}{x} - 4} \right)\] (m²).

Theo bài, nếu tăng chiều dài 6 m và giảm chiều rộng 4 m thì diện tích của mảnh đất không đổi nên ta có phương trình:

\[\left( {x + 6} \right)\left( {\frac{{720}}{x} - 4} \right) = 720\]

Giải phương trình:

\[\left( {x + 6} \right)\left( {\frac{{720}}{x} - 4} \right) = 720\]

\(720 - 4x + \frac{{4320}}{x} - 24 = 720\)

4x² + 24x – 4320 = 0

x² + 6x – 1080 = 0.

Phương trình trên có ∆' = 3² – 1.(–1080) = 1089 > 0 và \(\sqrt {\Delta '} = \sqrt {1089} = 33.\)

Do đó phương trình trên có hai nghiệm phân biệt là:

\({x_1} = \frac{{ - 3 - 33}}{1} = - 36\) (không thỏa mãn);

\({x_2} = \frac{{ - 3 + 33}}{1} = 30\) (thỏa mãn).

Vậy chiều dài mảnh đất là 30 m.