Cho hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x+my=m+1\left(1\right)\\ mx+y=3m-1\left(2\right)\end{array}\right.$. Tìm số nguyên m sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) mà x, y đều là số nguyên.

Từ phương trình (1) ta có x = 2y + 5. Thay x = 2y + 5 vào phương trình (2) ta được: m(2y + 5) – y = 4$\iff$(2m – 1).y = 4 – 5m        (3)

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất. Điều này tương đương với 2m – 1 ≠ 0$\iff$m ≠ $\frac{1}{2}$

Từ đó ta được: $y=\frac{4-5m}{2m-1}$và $x=5+2y=\frac{3}{2m-1}$  . Ta có:

$x.y=\frac{3\left(4-5m\right)}{{\left(2m-1\right)}^2}$  . Do đó x. y < 0  4 – 5m < 0$\iff m>\frac{4}{5}$(thỏa mãn điều kiện)

Đáp án:A

Hệ đã cho $\iff \left\{\begin{array}{l}x{y}^2+6x-y^2-6=y{x}^2+y\\ y{x}^2+6y-x^2-6=x{y}^2+x\end{array}\right.$

Trừ vế theo vế hai phương trình của hệ ta được:

2xy(y – x) +7 (x – y) + (x – y) (x + y) = 0

$\iff$(x – y)(x + y – 2xy + 7) = 0 $\left[\begin{array}{l}x=y\\ x+y-2xy+7=0\end{array}\right.$

+ Nếu x = y thay vào hệ ta có: $x^2–5x+6=0\iff \left[\begin{array}{l}x=y=2\\ x=y=3\end{array}\right.$

+ Nếu x + y – 2xy + 7 = 0$\iff$2x + 2y – 4xy + 14 = 0

$\iff$(2x – 1) + 2y (1 – 2x) = −15$\iff$(1 – 2x) (1 – 2y) = 15

Mặt khác khi cộng hai phương trình của hệ đã cho ta được:

$x^2+y^2–5x–5y+12=0\iff 4x^2–20x+25+4y^2–20y+25–2=0$

$\iff {(2x–5)}^2+{(2y–5)}^2=2\iff {(2x–5)}^2+{(2y–5)}^2=2$

Đặt a = 2x – 5; b = 2y – 5

Ta có $\left\{\begin{array}{l}{a}^2+b^2=2\\ \left(a+4\right)\left(b+4\right)=14\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{\left(a+b\right)}^2-2ab=2\\ ab+4\left(a+b\right)=-1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}a+b=0\\ ab=-1\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l}a+b=-8\\ ab=31\end{array}\right.\end{array}\right.$

Trường hợp 1: $\left\{\begin{array}{l}a+b=0\\ ab=-1\end{array}\right.\iff$(x; y) = (3; 2), (2; 3)

Trường hợp 2: $\left\{\begin{array}{l}a+b=-8\\ ab=31\end{array}\right.$vô nghiệm

Vậy nghiệm của hệ đã cho là (x; y)  {(2; 2); (3; 3); (2; 3); (3; 2)}

Suy ra có một cặp nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán là (x; y) = (3; 2)

Đáp án:A