Cho phương trình $x^2$ – (2m – 3)x + $m^2$ – 3m = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm $x_1; x_2$ thỏa mãn $1<x_1<x_2<6$

Phương trình m$x^2$ – 2(m – 2)x + 3(m – 2) = 0 (a = m; b = – 2(m – 2); c = 3(m – 2))

Ta có

$$\begin{gathered} ∆\text{'}={(m–2)}^2-3m(m–2) \\ =-2m^2+2m+4=(4–2m)(m+1) \end{gathered}$$

$P=x_1. x_2 =\frac{3\left(m-2\right)}{m}$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi $\left\{\begin{array}{l}a\ne 0\\ \Delta >0\\ P>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ \left(4-2m\right)\left(m+1\right)>0\\ \frac{3\left(m-2\right)}{m}>0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m\ne 0\\ -1<m<2\\ \left[\begin{array}{l}m>2\\ m<0\end{array}\right.\end{array}\right.\Rightarrow -1<m<0$

Vậy −1 < m < 0 là giá trị cần tìm

Đáp án: C

Phương trình $x^2$ – 2(m + 4)x + $m^2$ – 8 = 0 có a = 1 ≠ 0 và

$∆\text{'}={(m+4)}^2–(m^2–8)=8m+24$

Phương trình có hai $x_1; x_2\iff ∆\text{'}\ge 0\iff 8m+24\ge 0$ $\iff m\ge -3$

Áp dụng định lý Vi – ét ta có $x_1+x_{2 }=2(m+4); x_1.x_2=m^2 – 8$

Ta có:

$A=x_1+x_2-3x_1{x}_2$

= 2 (m + 4) – 3 ($m^2$ – 8) = -3$m^2$ + 2m + 32 = $-3\left(m^2-\frac{2}{3}m-\frac{32}{3}\right)$

$=-3{\left(m-\frac{1}{3}\right)}^2+\frac{97}{3}$

Nhận thấy $A\le \frac{97}{3}$  và dấu “=” xảy ra khi $m-\frac{1}{3}=0\iff m=\frac{1}{3}$ (TM)

Vậy giá trị lớn nhất của A là $\frac{97}{3}$ khi $m=\frac{1}{3}$

Đáp án: A