Cho hình thang cân ABCD (AB // CD). Chứng minh rằng bốn điiểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

- Phần thuận:

Xét hai tam giác vuông $∆\mathrm{BFC}, ∆\mathrm{DCE}$ có

BC = CD (do ABCD là hình vuông)

CE = CF (gt) nên $∆\mathrm{BFC}=∆\mathrm{DCE}$

Do đó, $\widehat{\mathrm{CBF}}=\widehat{\mathrm{CDE}}$

Mà $\widehat{\mathrm{BEM}}=\widehat{\mathrm{CED}}$ (đối đỉnh) nên

$$\begin{gathered} {90}^0=\widehat{\mathrm{CDE}}+\widehat{\mathrm{CED}}=\widehat{\mathrm{CBF}}+\widehat{\mathrm{BEM}} \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{BMD}}={90}^0 \end{gathered}$$

Vậy điểm M nằm trên đường tròn đường kính BD.

- Giới hạn:

+ Nếu $\mathrm{E}\equiv \mathrm{B}\Rightarrow \mathrm{M}\equiv \mathrm{B}$

+ Nếu $\mathrm{E}\equiv \mathrm{C}\Rightarrow \mathrm{M}\equiv \mathrm{C}$

Vậy điểm M chỉ nằm trên cung nhỏ $\stackrel{⏜}{\mathrm{BC}}$ của đường tròn đường kính BD.

- Phần đảo:

Lấy điểm M trên cung nhỏ $\stackrel{⏜}{\mathrm{BC}}$ của đường tròn đường kính BD. Nối MB, MD lần lượt cắt CD, BC tại F, E

Ta có $\widehat{\mathrm{BMD}}={90}^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $∆\mathrm{BFC}=∆\mathrm{DCE} \left(\mathrm{g}.\mathrm{c}.\mathrm{g}\right)$ do đó CF = CE.

- Kết luận: quỹ tích điểm M nằm trên cung nhỏ $\stackrel{⏜}{\mathrm{BC}}$ của đường tròn đường kính BD.

a) Vì M, N lần lượt nằm trên nửa đường tròn đường kính AB, AC nên $\widehat{\mathrm{BMA}}=\widehat{\mathrm{CNA}}={90}^0$

Do đó $\mathrm{BM}\perp \mathrm{MN}, \mathrm{CN}\perp \mathrm{MN}$ => BMCN là hình thang vuông (tại M, N)

b) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn MN:

- Phần thuận:

Gọi E là trung điểm BC => IE là đường trung bình của hình thang BCNM

$\Rightarrow \mathrm{EI}\perp \mathrm{MN}$, do đó $\widehat{\mathrm{AIC}}={90}^0$

Vậy điểm M nằm trên đường tròn đường kính AE.

- Giới hạn:

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB, AC. Ta có APEQ là hình chữ nhật nên P, Q cùng nằm trên đường tròn đường kính AE.

+ Nếu $\mathrm{M}\equiv \mathrm{B}\Rightarrow \mathrm{I}\equiv \mathrm{P}$ 

+ Nếu $\mathrm{M}\equiv \mathrm{C}\Rightarrow \mathrm{I}\equiv \mathrm{C}$

Vậy điểm M chỉ nằm trên cung $\stackrel{⏜}{\mathrm{PQ}}$ của đường tròn đường kính AE.

- Phần đảo:

Lấy điểm I trên cung $\stackrel{⏜}{\mathrm{PQ}}$ của đường tròn đường kính AE. Nối AI lần lượt cắt  tại M, N.

Ta có $\widehat{\mathrm{AIE}}={90}^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $\mathrm{EI}\perp \mathrm{MN}$ => EI // BM

Do đó EI là đường trung bình của hình thang BCNM => MI = NI

- Kết luận: quỹ tích điểm I nằm trên cung $\stackrel{⏜}{\mathrm{PQ}}$ của đường tròn đường kính AE.