Cho $\Delta ABC$ có $\widehat{A}={80}^o$, các đường phân giác BE và CD của $\widehat{B}$ và $\widehat{C}$ cắt nhau tại I. Tính $\widehat{BIC}$?

Đáp án D

Gọi Ax là tia đối của tia AB. Ta có: $\widehat{BAD}=\widehat{DAC}={60}^o$ nên $\widehat{CAx}={60}^o$

Xét $\Delta ABD$ có AE là tia phân giác của góc ngoài đỉnh A, BE là tia phân giác cả góc B và chúng cắt nhau tại E nên DE là tia phân giác góc ngoài của góc D

Mà $\widehat{EDC}$ là góc ngoài tại đỉnh D của tam giác BED nên $\widehat{B_1}+\widehat{BED}=\widehat{EDC}$

Do đó: $\widehat{BED}=\widehat{D_1}-\widehat{B_1}=\frac{\widehat{ADC}-\widehat{ABC}}{2}=\frac{\widehat{BAD}}{2}={30}^o$

Đáp án C

Xét tam giác AHB vuông ta có $\widehat{BAH}+\widehat{ABH}={90}^o$ mà $\widehat{BAH}=2.\widehat{C}$ và $\widehat{ABH}=2.\widehat{IBH}$

Suy ra $2.\widehat{C}+2.\widehat{IBH}={90}^o\Rightarrow 2(\widehat{C}+\widehat{IBH})={90}^o$

$\Rightarrow \widehat{C}+\widehat{EBH}={45}^o$

Xét tam giác BEC có $\widehat{IEA}$ là góc ngoài tại đỉnh E nên $\widehat{AEI}=\widehat{ECB}+\widehat{EBC}={45}^o$

Xét tam giác ABH có $\widehat{BAH}+\widehat{HBA}={90}^o\Rightarrow 2.\widehat{IAB}+2.\widehat{IBA}={90}^o$

$\begin{array}{l}\Rightarrow 2.(\widehat{IAB}+\widehat{IBA})={90}^o\\ \Rightarrow \widehat{IAB}+\widehat{IBA}={90}^o:2={45}^o\end{array}$

Xét tam giác AIB có $\widehat{AIE}$ là góc ngoài tại đỉnh I nên $\widehat{AIE}=\widehat{IAB}+\widehat{IBA}={45}^o$

Xét tam giác IAE có $\widehat{AIE}={45}^o=\widehat{IEA}$ suy ra:

$\widehat{EAI}={180}^o-\widehat{AIE}-\widehat{IEA}={90}^o$ (tổng ba góc trong tam giác)

Nên tam giác IAE vuông cân tại A