Cho tam giác ABC có $\widehat{B}=2\widehat{C}$, các đường phân giác của góc B và C cắt nhau tại I. Chọn câu đúng

Đáp án A

Kẻ $ID\perp BC;IE\perp AC;IF\perp AB$

Tam giác ABC có các đường phân giác của góc $\widehat{ABC}$ và $\widehat{ACB}$ cắt nhau tại I nên AI là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ (tính chất ba đường phân giác của tam giác)

Vì BI là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ nên $\widehat{B_1}=\widehat{B_2}=\frac{\widehat{ABC}}{2}$ (tính chất tia phân giác)

Xét $\Delta BFI$ vuông tại F và $\Delta BDI$ vuông tại D có:

$\widehat{B_1}=\widehat{B_2}$ (cmt)

BI cạnh chung

$\Rightarrow \Delta BFI=\Delta BDI$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow BF=BD$ (hai cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự ta có: $AF=AE;CE=CD$

Trên đoạn DC lấy điểm G sao cho $BD=DG$

Xét $\Delta BDI$ vuông tại D và $\Delta GDI$ vuông tại D có:

$BD=DG$ (theo cách vẽ)

DI là cạnh chung

$\Rightarrow \Delta BDI=\Delta GDI$ (hai cạnh góc vuông) $\Rightarrow IB=IG$ (hai cạnh tương ứng) $\Rightarrow \Delta IBG$ là tam giác cân tại I

$\Rightarrow \widehat{B_1}=\widehat{IGB}$ (Tính chất tam giác cân)(1)

Ta có: $\widehat{ABC}=2\widehat{ACB}\Rightarrow \widehat{ACB}=\frac{\widehat{ABC}}{2}=\widehat{B_1}$ (2)

Từ (1),(2) suy ra $\widehat{IGB}=\widehat{ACB}$ mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên IG//AC (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Khi đó: $\widehat{C_2}=\widehat{GIC}$ (hai góc so le trong)

Mặt khác $\widehat{C_1}=\widehat{C_2}$ ( do CI là tia phân giác của $\widehat{ACB}$)

$\widehat{C_1}=\widehat{GIC}\Rightarrow \Delta GIC$ cân tại D $\Rightarrow IG=GC$ (định nghĩa tam giác cân)

Ta có:

$$\begin{gathered} AC=AE+CE \\ \begin{array}{l}=AF+CD\\ =AF+DG+GC\\ =AF+DB+GC\\ =AF+BF+IB\\ =AB+IB\end{array} \end{gathered}$$