Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng AB→=CD→ khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

+) Có AB→=CD→, cần chứng minh trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau. Gọi trung điểm của AD là I, trung điểm BC là J. Khi đó ta có: IA→+ID→=0→, JB→+JC→=0→. Theo quy tắc ba điểm ta có: IJ→=IA→+AJ→=IA→+AB→+BJ→ IJ→=ID→+DJ→=ID→+DC→+CJ→ Suy ra: IJ→+IJ→=(IA→+AB→+BJ→)+(ID→+DC→+CJ→) =(IA→+ID→)+(AB→+DC→)+(BJ→+CJ→) =0→+(AB→+DC→)−(JB→+JC→) =(AB→+DC→)−0→=AB→+DC→. Do đó: AB→+DC→=2IJ→ (1) Mà AB→=CD→ nên AB→+DC→=CD→+DC→=CC→=0→ (2) Từ (1) và (2) suy ra: IJ→=0→ Do đó I ≡ J hay trung điểm của AD và BC trùng nhau. +) Có trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau, cần chứng minh AB→=CD→. Gọi I là trung điểm của AD thì I cũng là trung điểm của BC. Do đó: IA→+ID→=0→, IB→+IC→=0→. Theo quy tắc ba điểm ta có: AB→=AI→+IB→; CD→=CI→+ID→ Suy ra: AB→−CD→=(AI→+IB→)−(CI→+ID→)=(IB→+IC→)−(IA→+ID→)=0→−0→=0→ ⇒AB→=CD→.

Câu hỏi:

13/07/2024 3,518

Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng $\vec{A B} = \vec{C D}$ khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập cuối chương V có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

+) Có $\vec{A B} = \vec{C D}$ , cần chứng minh trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Gọi trung điểm của AD là I, trung điểm BC là J.

Khi đó ta có: $\vec{I A} + \vec{I D} = \vec{0}, \vec{J B} + \vec{J C} = \vec{0}$ .

Theo quy tắc ba điểm ta có:

$\vec{I J} = \vec{I A} + \vec{A J} = \vec{I A} + \vec{A B} + \vec{B J}$

$\vec{I J} = \vec{I D} + \vec{D J} = \vec{I D} + \vec{D C} + \vec{C J}$

Suy ra: $\vec{I J} + \vec{I J} = (\vec{I A} + \vec{A B} + \vec{B J}) + (\vec{I D} + \vec{D C} + \vec{C J})$

$= (\vec{I A} + \vec{I D}) + (\vec{A B} + \vec{D C}) + (\vec{B J} + \vec{C J})$

$= \vec{0} + (\vec{A B} + \vec{D C}) - (\vec{J B} + \vec{J C})$

$= (\vec{A B} + \vec{D C}) - \vec{0} = \vec{A B} + \vec{D C}$ .

Do đó: $\vec{A B} + \vec{D C} = 2 \vec{I J}$ (1)

Mà $\vec{A B} = \vec{C D}$ nên $\vec{A B} + \vec{D C} = \vec{C D} + \vec{D C} = \vec{C C} = \vec{0}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\vec{I J} = \vec{0}$

Do đó I ≡ J hay trung điểm của AD và BC trùng nhau.

+) Có trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau, cần chứng minh $\vec{A B} = \vec{C D}$ .

Gọi I là trung điểm của AD thì I cũng là trung điểm của BC.

Do đó: $\vec{I A} + \vec{I D} = \vec{0}, \vec{I B} + \vec{I C} = \vec{0}$ .

Theo quy tắc ba điểm ta có: $\vec{A B} = \vec{A I} + \vec{I B}; \vec{C D} = \vec{C I} + \vec{I D}$

Suy ra: $\vec{A B} - \vec{C D} = (\vec{A I} + \vec{I B}) - (\vec{C I} + \vec{I D})$ $= (\vec{I B} + \vec{I C}) - (\vec{I A} + \vec{I D}) = \vec{0} - \vec{0} = \vec{0}$

$\Rightarrow \vec{A B} = \vec{C D}$ .

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một xe goòng được kéo bởi một lực $\vec{F}$ có độ lớn là 50 N, di chuyển theo quãng đường từ A đến B có chiều dài 200 m. Cho biết góc giữa $\vec{F}$ và $\vec{A B}$ là 30° và $\vec{F}$ được phân tích thành 2 lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ (Hình 3). Tính công sinh bởi các lực $\vec{F}, \vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Công sinh bởi lực $\vec{F}$ là

A = $| \vec{F} | . A B . \cos (\vec{F}, \vec{A B})$ = 50 . 200 . cos30° = $5000 \sqrt{3}$ (J).

Góc tạo bởi lực $\vec{F_{1}}$ và $\vec{A B}$ là 90°, do đó công sinh bởi lực $\vec{F_{1}}$ là

A₁ = $| \vec{F_{1}} | . A B . \cos (\vec{F_{1}}, \vec{A B})$ = $| \vec{F_{1}} | .200. \cos 90 ° = 0$ (J).

Ta có: $| \vec{F_{2}} | = | \vec{F} | . \cos 30 ° = 50. \frac{\sqrt{3}}{2} = 25 \sqrt{3}$ (N)

Hai vectơ $\vec{F_{2}}$ và $\vec{A B}$ cùng hướng nên $(\vec{F_{2}}, \vec{A B}) = 0 °$ .

Do đó công sinh bởi lực $\vec{F_{2}}$ là

A₂ = $| \vec{F_{2}} | . A B . \cos (\vec{F_{2}}, \vec{A B})$ = $25 \sqrt{3} .200. \cos 0 ° = 5000 \sqrt{3}$ (J).

Câu 2

Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và có góc A bằng 60°. Tìm độ dài các vectơ sau: $\vec{p} = \vec{A B} + \vec{A D}$ ; $\vec{u} = \vec{A B} - \vec{A D}$ ; $\vec{v} = 2 \vec{A B} - \vec{A C}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

ABCD là hình thoi nên AB = BC = CD = DA = a.

Xét tam giác ABD có AB = AD và $\hat{B A D} = 60 °$ nên tam giác ABD đều.

Suy ra BD = AB = AD = a.

Ta có: $\hat{A D C} = 180 ° - \hat{B A D} = 180 ° - 60 ° = 120 °$ .

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ADC ta có:

AC² = AD² + DC² – 2 . AD . DC . cosADC

= a² + a² – 2 . a . a . cos120° = 3a²

Suy ra: AC = $a \sqrt{3}$ .

+ Vì ABCD là hình thoi nên ABCD cũng là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có: $\vec{p} = \vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ .

Do đó: $| \vec{p} | = | \vec{A C} | = A C = a \sqrt{3}$ .

+ Ta có: $\vec{u} = \vec{A B} - \vec{A D} = \vec{D B}$

Do đó: $| \vec{u} | = | \vec{D B} | = D B = a$ .

+ Ta có: $\vec{v} = 2 \vec{A B} - \vec{A C} = 2 \vec{A B} - (\vec{A B} + \vec{A D})$ $= \vec{A B} - \vec{A D} = \vec{D B}$

Do đó: $| \vec{v} | = | \vec{D B} | = D B = a$ .

Câu 3

Một chiếc thuyền cố gắng đi thẳng qua một con sông với tốc độ 0,75 m/s. Tuy nhiên, dòng chảy của nước trên con sông đó chảy với tốc độ 1,20 m/s về hướng bên phải. Gọi $\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \vec{v}$ lần lượt là vận tốc của thuyền so với dòng nước, vận tốc của dòng nước so với bờ và vận tốc của thuyền so với bờ.

a) Tính độ dài của các vectơ $\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \vec{v}$ .

b) Tốc độ dịch chuyển của thuyền so với bờ là bao nhiêu?

c) Hướng di chuyển của thuyền lệch một góc bao nhiêu so với bờ?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Một chiếc máy bay được biết là đang bay về phía bắc với tốc độ 45 m/s, mặc dù vận tốc của nó so với mặt đất là 38 m/s theo hướng nghiêng một góc 20° về phía tây bắc (Hình 2). Tính tốc độ của gió.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho $\vec{a}$ , $\vec{b}$ là hai vectơ khác vectơ $\vec{0}$ . Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng?

a) $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | + | \vec{b} |$ ;

b) $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Vẽ điểm E sao cho $\vec{C E} = \vec{A N}$ (Hình 1).

a) Tìm tổng của các vectơ $\vec{N C}$ và $\vec{M C}$ ; $\vec{A M}$ và $\vec{C D}$ ; $\vec{A D}$ và $\vec{N C}$ .

b) Tìm các vectơ hiệu: $\vec{N C} - \vec{M C}; \vec{A C} - \vec{B C}; \vec{A B} - \vec{M E}$ .

c) Chứng minh $\vec{A M} + \vec{A N} = \vec{A B} + \vec{A D}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và AB = a, BC = 3a.

a) Tính độ dài của các vectơ $\vec{A C}, \vec{B D}$ .
b) Tìm trong hình các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng $\frac{a \sqrt{10}}{2}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử