Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}$.

Một xe goòng được kéo bởi một lực $\overrightarrow{F}$ có độ lớn là 50 N, di chuyển theo quãng đường từ A đến B có chiều dài 200 m. Cho biết góc giữa $\overrightarrow{F}$ và $\overrightarrow{AB}$ là 30° và $\overrightarrow{F}$ được phân tích thành 2 lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2}$ (Hình 3). Tính công sinh bởi các lực $\overrightarrow{F},\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$.

Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và có góc A bằng 60°. Tìm độ dài các vectơ sau: $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$; $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$ ;$\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$ .

Một chiếc máy bay được biết là đang bay về phía bắc với tốc độ 45 m/s, mặc dù vận tốc của nó so với mặt đất là 38 m/s theo hướng nghiêng một góc 20° về phía tây bắc (Hình 2). Tính tốc độ của gió.

Một chiếc thuyền cố gắng đi thẳng qua một con sông với tốc độ 0,75 m/s. Tuy nhiên, dòng chảy của nước trên con sông đó chảy với tốc độ 1,20 m/s về hướng bên phải. Gọi $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\overrightarrow{v}$ lần lượt là vận tốc của thuyền so với dòng nước, vận tốc của dòng nước so với bờ và vận tốc của thuyền so với bờ.

a) Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\overrightarrow{v}$.

b) Tốc độ dịch chuyển của thuyền so với bờ là bao nhiêu?

c) Hướng di chuyển của thuyền lệch một góc bao nhiêu so với bờ?

Cho $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ là hai vectơ khác vectơ $\overrightarrow{0}$ . Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng?

a) $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\left|\overrightarrow{a}\right|+\left|\overrightarrow{b}\right|$ ;

b) $|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$ .

Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Vẽ điểm E sao cho $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AN}$  (Hình 1).

Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và AB = a, BC = 3a.

a) Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BD}$ .