Câu hỏi:

13/07/2024 1,982

Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng $\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F} = \frac{3}{2} \vec{M O}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập cuối chương V có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Tam giác ABC đều nên $\hat{A} = \hat{B} = \hat{C} = 60 °$ .

Media VietJack

Qua M kẻ: HG // AB, IJ // BC, KL // AC với H, L ∈ BC; K, J ∈ AB; G, I ∈ AC.

Khi đó ta có AKMG, BJMH, MLCI là các hình bình hành.

Theo quy tắc hình hình hành ta có:

$\vec{M K} + \vec{M G} = \vec{M A}; \vec{M H} + \vec{M J} = \vec{M B}; \vec{M I} + \vec{M L} = \vec{M C}$ . (1)

Ta có: MH // AB $\Rightarrow \hat{M H L} = \hat{B} = 60 °$ (đồng vị)

ML // AC $\Rightarrow \hat{M L H} = \hat{C} = 60 °$ (đồng vị)

Tam giác MHL có $\hat{M H L} = \hat{M L H} = 60 °$ nên tam giác MHL đều.

Có MD vuông góc với HL nên MD đồng thời là đường trung tuyến của tam giác MHL.

Suy ra D là trung điểm của HL.

Khi đó ta có: $\vec{M H} + \vec{M L} = 2 \vec{M D}$ .

Chứng minh tương tự ta có: $\vec{M K} + \vec{M J} = 2 \vec{M F}$ ; $\vec{M G} + \vec{M I} = 2 \vec{M E}$ .

Do đó: $2 \vec{M D} + 2 \vec{M E} + 2 \vec{M F} = \vec{M H} + \vec{M L} + \vec{M G} + \vec{M I} + \vec{M K} + \vec{M J}$

$= (\vec{M K} + \vec{M G}) + (\vec{M H} + \vec{M J}) + (\vec{M I} + \vec{M L})$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $2 (\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F}) = \vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C}$

Mà O là trọng tậm của tam giác ABC nên $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M O}$

Do đó: $2 (\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F}) = 3 \vec{M O}$

Suy ra $\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F} = \frac{3}{2} \vec{M O}$ .

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một xe goòng được kéo bởi một lực $\vec{F}$ có độ lớn là 50 N, di chuyển theo quãng đường từ A đến B có chiều dài 200 m. Cho biết góc giữa $\vec{F}$ và $\vec{A B}$ là 30° và $\vec{F}$ được phân tích thành 2 lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}$ (Hình 3). Tính công sinh bởi các lực $\vec{F}, \vec{F_{1}}$ và $\vec{F_{2}}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Công sinh bởi lực $\vec{F}$ là

A = $| \vec{F} | . A B . \cos (\vec{F}, \vec{A B})$ = 50 . 200 . cos30° = $5000 \sqrt{3}$ (J).

Góc tạo bởi lực $\vec{F_{1}}$ và $\vec{A B}$ là 90°, do đó công sinh bởi lực $\vec{F_{1}}$ là

A₁ = $| \vec{F_{1}} | . A B . \cos (\vec{F_{1}}, \vec{A B})$ = $| \vec{F_{1}} | .200. \cos 90 ° = 0$ (J).

Ta có: $| \vec{F_{2}} | = | \vec{F} | . \cos 30 ° = 50. \frac{\sqrt{3}}{2} = 25 \sqrt{3}$ (N)

Hai vectơ $\vec{F_{2}}$ và $\vec{A B}$ cùng hướng nên $(\vec{F_{2}}, \vec{A B}) = 0 °$ .

Do đó công sinh bởi lực $\vec{F_{2}}$ là

A₂ = $| \vec{F_{2}} | . A B . \cos (\vec{F_{2}}, \vec{A B})$ = $25 \sqrt{3} .200. \cos 0 ° = 5000 \sqrt{3}$ (J).

Câu 2

Một chiếc thuyền cố gắng đi thẳng qua một con sông với tốc độ 0,75 m/s. Tuy nhiên, dòng chảy của nước trên con sông đó chảy với tốc độ 1,20 m/s về hướng bên phải. Gọi $\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \vec{v}$ lần lượt là vận tốc của thuyền so với dòng nước, vận tốc của dòng nước so với bờ và vận tốc của thuyền so với bờ.

a) Tính độ dài của các vectơ $\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \vec{v}$ .

b) Tốc độ dịch chuyển của thuyền so với bờ là bao nhiêu?

c) Hướng di chuyển của thuyền lệch một góc bao nhiêu so với bờ?

Xem đáp án

Lời giải

a) Vectơ $\vec{v_{1}}$ là vectơ vận tốc của thuyền so với dòng nước, do đó: $| \vec{v_{1}} | = 0, 75$ m/s.

Vectơ $\vec{v_{2}}$ là vectơ vận tốc của dòng nước so với bờ, do đó: $| \vec{v_{2}} | = 1, 20$ m/s.

Áp dụng định lí Pythagore ta có:

${| \vec{v} |}^{2} = {| \vec{v_{1}} |}^{2} + {| \vec{v_{2}} |}^{2} = {(0, 75)}^{2} + {(1, 20)}^{2} = 2, 0025$

Suy ra: $| \vec{v} | = \sqrt{2, 0025} = \frac{3 \sqrt{89}}{20}$ m/s.

b) Vectơ $\vec{v}$ là vectơ vận tốc của thuyền so với bờ nên tốc độ dịch chuyển của thuyền so với bờ là $| \vec{v} | = \frac{3 \sqrt{89}}{20}$ m/s.

c) Ta có: $c o s (\vec{v_{1}}, \vec{v}) = \frac{| \vec{v_{1}} |}{| \vec{v} |} = \frac{0, 75}{\frac{3 \sqrt{89}}{20}} = \frac{5 \sqrt{89}}{89}$ .

Suy ra $(\vec{v_{1}}, \vec{v}) \approx 58 °$ .

Vậy góc tạo bởi hướng dịch chuyển của thuyền so với bờ là θ = 90° – 58° = 32°.

Câu 3

Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và có góc A bằng 60°. Tìm độ dài các vectơ sau: $\vec{p} = \vec{A B} + \vec{A D}$ ; $\vec{u} = \vec{A B} - \vec{A D}$ ; $\vec{v} = 2 \vec{A B} - \vec{A C}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Một chiếc máy bay được biết là đang bay về phía bắc với tốc độ 45 m/s, mặc dù vận tốc của nó so với mặt đất là 38 m/s theo hướng nghiêng một góc 20° về phía tây bắc (Hình 2). Tính tốc độ của gió.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho $\vec{a}$ , $\vec{b}$ là hai vectơ khác vectơ $\vec{0}$ . Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng?

a) $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | + | \vec{b} |$ ;

b) $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Vẽ điểm E sao cho $\vec{C E} = \vec{A N}$ (Hình 1).

a) Tìm tổng của các vectơ $\vec{N C}$ và $\vec{M C}$ ; $\vec{A M}$ và $\vec{C D}$ ; $\vec{A D}$ và $\vec{N C}$ .

b) Tìm các vectơ hiệu: $\vec{N C} - \vec{M C}; \vec{A C} - \vec{B C}; \vec{A B} - \vec{M E}$ .

c) Chứng minh $\vec{A M} + \vec{A N} = \vec{A B} + \vec{A D}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và AB = a, BC = 3a.

a) Tính độ dài của các vectơ $\vec{A C}, \vec{B D}$ .
b) Tìm trong hình các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng $\frac{a \sqrt{10}}{2}$ .

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng MD→+ME→+MF→=32MO→.

Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và có góc A bằng 60°. Tìm độ dài các vectơ sau: p→=AB→+AD→; u→=AB→−AD→ ;v→=2AB→−AC→ .

Một chiếc máy bay được biết là đang bay về phía bắc với tốc độ 45 m/s, mặc dù vận tốc của nó so với mặt đất là 38 m/s theo hướng nghiêng một góc 20° về phía tây bắc (Hình 2). Tính tốc độ của gió.

Cho a→ , b→ là hai vectơ khác vectơ 0→ . Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng? a) |a→+b→|=|a→|+|b→| ; b) |a→+b→|=|a→−b→| .

Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và AB = a, BC = 3a. a) Tính độ dài của các vectơ AC→, BD→ . b) Tìm trong hình các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng a102 .

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng $\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F} = \frac{3}{2} \vec{M O}$ .

Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và có góc A bằng 60°. Tìm độ dài các vectơ sau: $\vec{p} = \vec{A B} + \vec{A D}$ ; $\vec{u} = \vec{A B} - \vec{A D}$ ; $\vec{v} = 2 \vec{A B} - \vec{A C}$ .

Cho $\vec{a}$ , $\vec{b}$ là hai vectơ khác vectơ $\vec{0}$ . Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng?

a) $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | + | \vec{b} |$ ;

b) $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ .

Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và AB = a, BC = 3a.

a) Tính độ dài của các vectơ $\vec{A C}, \vec{B D}$ .
b) Tìm trong hình các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng $\frac{a \sqrt{10}}{2}$ .