Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ba điểm A(2; 3), B(– 1; 1), C(3; – 1).

Tìm toạ độ điểm M sao cho \(\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {BC} \).

Hướng dẫn giải

Gọi tọa độ điểm A(x_A; y_A), B(x_B; y_B), C(x_C; y_C).

Ta có: \(\overrightarrow {AP} = \left( {6 - {x_A};\,2 - {y_A}} \right)\), \(\overrightarrow {PB} = \left( {{x_B} - 6;\,{y_B} - 2} \right)\), \(\overrightarrow {BM} = \left( {1 - {x_B};\,\left( { - 2} \right) - {y_B}} \right)\), \(\overrightarrow {MC} = \left( {{x_C} - 1;{y_C} - \left( { - 2} \right)} \right)\), \[\overrightarrow {AN} = \left( {4 - {x_A};\,\left( { - 1} \right) - {y_A}} \right)\], \(\overrightarrow {NC} = \left( {{x_C} - 4;\,{y_c} - \left( { - 1} \right)} \right)\).

Vì P là trung điểm của AB nên \(\overrightarrow {AP} = \overrightarrow {PB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 - {x_A} = {x_B} - 6\\2 - {y_A} = {y_B} - 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 12 - {x_B}\\{y_A} = 4 - {y_B}\end{array} \right.\) (1)

Vì M là trung điểm của BC nên \(\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {MC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - {x_B} = {x_C} - 1\\\left( { - 2} \right) - {y_B} = {y_C} - \left( { - 2} \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 2 - {x_C}\\{y_B} = - 4 - {y_C}\end{array} \right.\)(2)

Vì N là trung điểm của AC nên \(\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {NC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - {x_A} = {x_C} - 4\\\left( { - 1} \right) - {y_A} = {y_C} - \left( { - 1} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 8 - {x_C}\\{y_A} = - 2 - {y_C}\end{array} \right.\)(3)

Từ (1) và (3) suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}12 - {x_B} = 8 - {x_C}\\4 - {y_B} = - 2 - {y_C}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 4 + {x_C}\\{y_B} = 6 + {y_C}\end{array} \right.\) (4)

Từ (2) và (4) suy ra: \(\left\{ \begin{array}{l}2 - {x_C} = 4 + {x_C}\\ - 4 - {y_C} = 6 + {y_C}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x_C} = - 2\\2{y_C} = - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = - 1\\{y_C} = - 5\end{array} \right.\).

Vậy tọa độ điểm C là C(– 1; – 5).

Thay tọa độ điểm C vào (3) ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 8 - \left( { - 1} \right) = 9\\{y_A} = - 2 - \left( { - 5} \right) = 3\end{array} \right.\).

Thay tọa độ điểm C vào (4) ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 4 + \left( { - 1} \right) = 3\\{y_B} = 6 + \left( { - 5} \right) = 1\end{array} \right.\).

Vậy tọa độ các điểm A, B, C là A(9; 3), B(3; 1) và C(– 1; – 5).

Hướng dẫn giải

Gọi tọa độ điểm C(x_C; y_C), tọa độ điểm D(x_D; y_D).

Khi đó ta có: \(\overrightarrow {AI} = \left( {4 - \left( { - 3} \right);\,2 - 1} \right) = \left( {7;\,\,1} \right)\), \(\overrightarrow {IC} = \left( {{x_C} - 4;\,{y_C} - 2} \right)\).

Vì I là tâm đối xứng của hình bình hành ABCD nên I là trung điểm của AC, do đó \(\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {IC} \)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {IC} = \left( {7;\,\,1} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} - 4 = 7\\{y_C} - 2 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 11\\{y_C} = 3\end{array} \right.\).

Vậy tọa độ điểm C là C(11; 3).

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {\left( { - 1} \right) - \left( { - 3} \right);3 - 1} \right) = \left( {2;\,2} \right)\), \(\overrightarrow {DC} = \left( {11 - {x_D};\,\,3 - {y_D}} \right)\).

Vì ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \)\( \Leftrightarrow \overrightarrow {DC} = \left( {2;\,\,2} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}11 - {x_D} = 2\\3 - {y_D} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 9\\{y_D} = 1\end{array} \right.\).

Vậy tọa độ điểm D là D(9; 1).