Ném đĩa là một môn thể thao thi đấu trong Thế vận hội Olympic mùa hè. Khi thực hiện cú ném, vận động viên thường quay lưng lại với hướng ném, sau đó xoay ngược chiều kim đồng hồ một vòng rưỡi của đường tròn để lấy đà rồi thả tay ra khỏi đĩa. Giả sử đĩa chuyển động trên một đường tròn tâm \(I\left( {0;\,\frac{3}{2}} \right)\) bán kính 0,8 trong mặt phẳng tọa độ Oxy (đơn vị trên hai trục là mét). Đến điểm \(M\left( {\frac{{\sqrt {39} }}{{10}};\,\,2} \right)\), đĩa được ném đi (Hình 47). Trong những giây đầu tiên ngay sau khi được ném đi, quỹ đạo chuyển động của chiếc đĩa có phương trình như thế nào?

Hướng dẫn giải

Ta có: (x + 1)² + (y – 2)² = 4 ⇔ (x – (– 1))² + (y – 2)² = 2².

Đường tròn đã cho có tâm I(– 1; 2) và bán kính R = 2.

Gọi đường thẳng d có phương trình 3x + 4y + m = 0, đường thẳng này tiếp xúc với đường tròn đã cho khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm I của đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn hay d(I, d) = R

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {3.\left( { - 1} \right) + 4.2 + m} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 2\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 5} \right|}}{5} = 2\) ⇔ |m + 5| = 10

Suy ra m + 5 = 10 hoặc m + 5 = – 10

Suy ra m = 5 hoặc m = – 15.

Vậy m = 5, m = – 15 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải:

Gọi vị trí người đó đang đứng là B(– 3; 4).

Ta có: \(\overrightarrow {BI} = \left( { - 2 - \left( { - 3} \right);\,1 - 4} \right) = \left( {1;\, - 3} \right)\), \(BI = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {10} \).

BI > R nên B nằm ngoài đường tròn ranh giới, giả sử đường thẳng BI cắt đường tròn tại điểm A, khi đó AB là khoảng cách ngắn nhất từ B đến vùng phủ sóng.

Ta cần tìm tọa độ điểm A.

Đường thẳng BI có một vectơ chỉ phương là vectơ \(\overrightarrow {BI} \) nên nó có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3;\,\,1} \right)\). Do đó, phương trình đường thẳng BI là 3(x + 3) + 1(y – 4) = 0 hay 3x + y + 5 = 0.

Tọa độ của giao điểm A là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y + 5 = 0\\{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}--{\rm{ }}1} \right)^2} = {\rm{ }}9\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 3x - 5\\{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( { - 3x - 5 - 1} \right)^2} = 9\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 3x - 5\\{x^2} + 4x + 4 + 9{x^2} + 36x + 36 = 9\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 3x - 5\\10{x^2} + 40x + 31 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 3x - 5\\\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 20 + 3\sqrt {10} }}{{10}}\\x = \frac{{ - 20 - 3\sqrt {10} }}{{10}}\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 20 + 3\sqrt {10} }}{{10}}\\y = \frac{{10 - 9\sqrt {10} }}{{10}}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 20 - 3\sqrt {10} }}{{10}}\\y = \frac{{10 + 9\sqrt {10} }}{{10}}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( {\frac{{ - 20 + 3\sqrt {10} }}{{10}};\,\,\frac{{10 - 9\sqrt {10} }}{{10}}} \right)\\A\left( {\frac{{ - 20 - 3\sqrt {10} }}{{10}};\,\,\frac{{10 + 9\sqrt {10} }}{{10}}} \right)\end{array} \right.\)

+ Với \(A\left( {\frac{{ - 20 + 3\sqrt {10} }}{{10}};\,\,\frac{{10 - 9\sqrt {10} }}{{10}}} \right)\)

Ta có: \(AB = \sqrt {{{\left( { - 3 - \frac{{ - 20 + 3\sqrt {10} }}{{10}}} \right)}^2} + {{\left( {4 - \frac{{10 - 9\sqrt {10} }}{{10}}} \right)}^2}} \approx 6,2\)

+ Với \(A\left( {\frac{{ - 20 - 3\sqrt {10} }}{{10}};\,\,\frac{{10 + 9\sqrt {10} }}{{10}}} \right)\)

Ta có: \(AB = \sqrt {{{\left( { - 3 - \frac{{ - 20 - 3\sqrt {10} }}{{10}}} \right)}^2} + {{\left( {4 - \frac{{10 + 9\sqrt {10} }}{{10}}} \right)}^2}} \approx 0,2\)

Do 0,2 < 6,2 nên ta chọn kết quả 0,2.

Vậy tính theo đường chim bay, khoảng cách ngắn nhất để một người ở vị trí có toạ độ (– 3; 4) di chuyển được tới vùng phủ sóng là 0,2 km.