Cho hình thang cân ABCD có đáy lớn AD và đáy nhỏ BC thỏa mãn AD = 4 cm và AB = BC = CD = 2 cm (H.4.62). Tính các góc của hình thang ABCD.

Hướng dẫn giải

Gọi O là trung điểm của AD.

Khi đó, AO = OD = \(\frac{{AD}}{2} = \frac{4}{2} = 2\) (cm).

Do đó, AB = BC = CD = AO = OD = 2 cm.

Tam giác ABO có AB = BO nên tam giác ABO cân tại đỉnh A.

Suy ra \(\widehat {ABO} = \widehat {AOB}\).

Lại có: AD // BC (do ABCD là hình thang cân có AD và BC là đáy)

Suy ra \(\widehat {CBO} = \widehat {AOB}\) (hai góc so le trong).

Do đó, \(\widehat {ABO} = \widehat {AOB} = \widehat {CBO}\).

Xét tam giác ABO và tam giác CBO có:

AB = BC (= 2 cm)

\(\widehat {ABO} = \widehat {CBO}\) (cmt)

BO: cạnh chung

Do đó, ∆ABO = ∆CBO (c – g – c).

Suy ra CO = AO = 2 cm.

Tam giác COD có CD = OD = OC (= 2 cm). Do đó tam giác COD là tam giác đều.

Suy ra \(\widehat D = \widehat {CDO} = 60^\circ \).

Ta có: \(\widehat D + \widehat {BCD} = 180^\circ \) (BC // AD, hai góc ở vị trí trong cùng phía)

Suy ra \(\widehat {BCD} = 180^\circ - \widehat D = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).

Do ABCD là hình thang cân với AD và BC là đáy.

Vậy \(\widehat A = \widehat D = 60^\circ \) và \(\widehat {ABC} = \widehat {BCD} = 120^\circ \).