Câu hỏi:

12/07/2024 3,888

Sau bao lâu kể từ thời điểm xuất phát hai tàu gần nhau nhất?

Câu hỏi trong đề: Bài tập Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d₁ đi qua điểm A(3; – 4) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {25;\,\,33} \right)\).

Do đó phương trình tổng quát của d₁ là 25(x – 3) + 33(y + 4) = 0 hay 25x + 33y + 57 = 0.

Đường thẳng d₂ đi qua điểm B(4; 3) và có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {4;\,\, - 3} \right)\).

Do đó phương trình tổng quát của d₂ là 4(x – 4) – 3(y – 3) = 0 hay 4x – 3y – 7 = 0.

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d₁ và d₂ là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}25x + 33y + 57 = 0\\4x - 3y - 7 = 0\end{array} \right.\).

Hệ trên có nghiệm duy nhất \(\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{20}}{{69}}\\y = - \frac{{403}}{{207}}\end{array} \right.\).

Do đó hai đường thẳng d₁ và d₂ cắt nhau tại điểm có tọa độ \(\left( {\frac{{20}}{{69}};\, - \frac{{403}}{{207}}} \right)\).

Khi đó hai tàu A và tàu B gần nhau nhất khi hai tàu ở vị trí tọa độ \(\left( {\frac{{20}}{{69}};\, - \frac{{403}}{{207}}} \right)\).

Thay tọa độ \(\left( {\frac{{20}}{{69}};\, - \frac{{403}}{{207}}} \right)\) vào phương trình tham số d₁ ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{20}}{{69}} = 3 - 33t\\ - \frac{{403}}{{207}} = - \,4 + 25t\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{{17}}{{207}}\\t = \frac{{17}}{{207}}\end{array} \right. \Leftrightarrow t = \frac{{17}}{{207}}\).

Vậy sau \(\frac{{17}}{{207}}\) giờ kể từ thời điểm xuất phát thì hai tàu gần nhau nhất.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi cuối kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho ba điểm A(2; 4), B(– 1; 2) và C(3; – 1). Viết phương trình đường thẳng đi qua B đồng thời cách đều A và C.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Gọi d là đường thẳng đi qua B và cách đều A và C.

Do d đi qua B(– 1; 2) nên phương trình đường thẳng d có dạng a(x + 1) + b(y – 2) = 0 hay ax + by + a – 2b = 0 (với a và b không đồng thời bằng 0).

Vì d cách đều A và C nên d(A, d) = d(C, d).

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {2a + 4b + a - 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| {3a - b + a - 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)

\( \Leftrightarrow \left| {3a + 2b} \right| = \left| {4a - 3b} \right|\)

Trường hợp 1: 3a + 2b = 4a – 3b ⇔ a = 5b.

Chọn b = 1, a = 5 . 1 = 5, ta có phương trình đường thẳng d là 5x + y + 5 – 2 = 0 hay 5x + y + 3 = 0.

Trường hợp 2: 3a + 2b = – (4a – 3b) ⇔ 7a = b.

Chọn a = 1, b = 7 . 1 = 7, ta có phương trình đường thẳng d là x + 7y + 1 – 2 . 7 = 0 hay x + 7y – 13 = 0.

Vậy phương trình đường thẳng cần lập là 5x + y + 3 = 0 hoặc x + 7y – 13 = 0.

Lưu ý: Do vectơ \(\overrightarrow n = \left( {a;\,b} \right)\) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d, mà một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến, nên khi ta có hệ thức liên hệ giữa a và b thì ta có thể chọn a rồi suy ra b hoặc ngược lại.

Câu 2

Có hai con tàu A và B cùng xuất phát từ hai bến, chuyển động đều theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (được coi như mặt phẳng tọa độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), sau khi xuất phát t (giờ) (t ≥ 0), vị trí của tàu A có tọa độ được xác định bởi công thức: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 33t\\y = - \,4 + 25t\end{array} \right.\), vị trí của tàu B có tọa độ là (4 – 30t; 3 – 40t).

Tính côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu A và B.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Giả sử đường đi của tàu A là d₁, khi đó phương trình d₁: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 33t\\y = - \,4 + 25t\end{array} \right.\).

Giả sử đường đi của tàu B là d₂, vị trí của tàu B có tọa độ là (4 – 30t; 3 – 40t) nên phương trình d₂: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 30t\\y = 3 - 40t\end{array} \right.\).

Đường thẳng d₁ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 33;\,25} \right)\).

Đường thẳng d₂ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 30;\, - 40} \right)\).

Do đó, cos(d₁, d₂) = \(\frac{{\left| {\left( { - 33} \right).\left( { - 30} \right) + 25.\left( { - 40} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 33} \right)}^2} + {{25}^2}} \,.\,\sqrt {{{\left( { - 30} \right)}^2} + {{\left( { - 40} \right)}^2}} }} = \frac{{10}}{{50\sqrt {1714} }} = \frac{1}{{5\sqrt {1714} }}\)

Vậy côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu A và B là \(\frac{1}{{5\sqrt {1714} }}\).

Câu 3