Giải SBT Toán 12 Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

a) y = x³ – 6x² + 9x

1. Tập xác định: D = ℝ.

2. Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty .\)

Ta có: y' = 3x² – 12x + 9

           y' = 0 ⇔ 3x² – 12x + 9 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 3.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 1) và (3; +∞).

Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 3).

Hàm số đạt cực đại tại x = 1 với y_CĐ = 4.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3 với y_CT = 0.

3. Đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; 0).

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm (0; 0) và (3; 0).

Đồ thị nhận điểm (2; 2) làm tâm đối xứng.

Ta có đồ thị hàm số như sau:

b) y = x³ + 3x² + 6x + 4

1. Tập xác định: D = ℝ.

2. Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty .\)

Ta có: y' = 3x² + 6x + 6 = 3(x² + 2x + 1) + 3 = 3(x + 1)² + 3 > 0 với mọi x.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đồng biến trên ℝ.

Hàm số không có cực trị.

3. Đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; 4).

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm (−1; 0).

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (−1; 0).

Đồ thị hàm số như sau:

a) \(y = \frac{{3x + 5}}{{x + 2}}\)

1. Tập xác định: D = ℝ\{−2}.

2. Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 3;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 3\)

Do đó, đường thẳng y = 3 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \frac{{3x + 5}}{{x + 2}} = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \frac{{3x + 5}}{{x + 2}} = + \infty \).

Do đó, đường thẳng x = −2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: y' = \(\frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\) > 0, với mọi x ∈ D.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; −2) và (−2; +∞).

2. Đồ thị hàm số

Đồ thị cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;\frac{5}{2}} \right)\).

Đồ thị cắt trục hoành tại điểm \(\left( { - \frac{5}{3};0} \right)\).

Đồ thị có tâm đối xứng là điểm (−2; 3).

Hai trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.

Đồ thị hàm số như sau:

b) \(y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}\)

1. Tập xác định: D = ℝ\{1}.

2. Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 2;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 2\)

Do đó, đường thẳng y = 2 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{2x - 1}}{{x - 1}} = - \infty \).

Do đó, đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: y' = \(\frac{{ - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) > 0, với mọi x ∈ D.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).

3. Đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; 1).

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm \(\left( {\frac{1}{2};0} \right)\).

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (1; 2).

Hai trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.

a) \(y = \frac{{{x^2} - 4x + 8}}{{x - 2}}\)

1. Tập xác định: D = ℝ\{2}.

2. Sự biến thiên

Ta có: y = x – 2 + \(\frac{4}{{x - 2}}\).

Giới hạn tại vô cực:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \).

Do đó, đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} - 4x + 8}}{{x - 2}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{{x^2} - 4x + 8}}{{x - 2}} = - \infty \).

Do đó, đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - (x - 2)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x--2 + \frac{4}{{x - 2}} - (x - 2)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{4}{{x - 2}} = 0.\)

Do đó, đường thẳng y = x – 2 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có: y' =\(\frac{{{x^2} - 4x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)

           y' = 0 ⇔ \(\frac{{{x^2} - 4x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)= 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 4.

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 0) và (4; +∞).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; 2) và (2; 4).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = −4.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4 và y_CT = 4.

3. Đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; −4).

Đồ thị hàm số không cắt trục hoành.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm (2; 0).

Hai trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.

Đồ thị hàm số như sau:

b) \(y = \frac{{2{x^2} + 3x - 5}}{{x + 1}}\)

1. Tập xác định: D = ℝ\{−1}.

2. Sự biến thiên

Ta có: y = 2x + 1 − \(\frac{6}{{x + 1}}\).

Giới hạn tại vô cực:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty ;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \).

Do đó, đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{2{x^2} + 3x - 5}}{{x + 1}} = - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{2{x^2} + 3x - 5}}{{x + 1}} = + \infty \).

Do đó, đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y - (2x + 1)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {2x + 1 - \frac{6}{{x + 1}} - (2x + 1)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 6}}{{x + 1}} = 0.\)

Do đó, đường thẳng y = 2x + 1 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có: y' =\(\frac{{2{x^2} + 4x + 8}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{2{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 6}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) > 0, với mọi x ≠ −1.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞).

Hàm số không có cực trị.

3. Đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; −5).

Đồ thị hàm số cách trục hoành tại điểm \(\left( { - \frac{5}{2};0} \right)\) và (1; 0).

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (−1; −1).

Hai trục đối xứng của đồ thị là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.

Đồ thị hàm số như sau:

Từ đồ thị hàm số f'(x), ta có bảng biến thiên của hàm số f(x) như sau:

Do đó, hàm số f(x) đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (2; +∞) và hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 2).

Hàm số đạt cực đại tại x = −1 và đạt cực tiểu tại x = 2.

a) Ta có: a(t) = v'(t).

Do đó, từ đồ thị hàm số a(t), t ∈ [1; 5], ta có bảng biến thiên hàm vận tốc v(t) như sau:

b) Từ bảng biến thiên, ta thấy vật chuyển động với vận tốc lớn nhất tại giây thứ ba (t = 3).

Theo đề, ta có: x (cm) là chiều rộng tờ giấy.

Gọi y (cm) là chiều dài tờ giấy.

Theo giả thiết, ta có: chiều rộng vùng in là: x – 2.2 = x – 4 (cm).

                                  Chiều dài cùng in là: y – 3.2 = y – 6 (cm).

Diện tích vùng in là: (x – 4)(y – 6) = 300.

Suy ra y = \(6 + \frac{{300}}{{x - 4}} = \frac{{6x + 276}}{{x - 4}}\).

a) Diện tích của tờ giấy được thiết kế là:

S(x) = xy = \(\frac{{x\left( {6x + 276} \right)}}{{x - 4}}\).

b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số S(x):

1. Tập xác định: D = (4; +∞).

2. Sự biến thiên

Giới hạn vô cực và giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} S(x) = + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } S(x) = + \infty \)

Ta có: S(x) = 6x + 300 + \(\frac{{1200}}{{x - 4}}\).

S'(x) = \(\frac{{6{{\left( {x - 4} \right)}^2} - 1200}}{{{{\left( {x - 4} \right)}^2}}}\) .

S'(x) = 0 ⇔ x₀ = x = 4 + 10\(\sqrt 2 \).

Ta có bảng biến thiên như sau:

c) Kích thước của tờ giấy để nguyên liệu sử dụng ít nhất là khi chiều rộng x = 4 + 10\(\sqrt 2 \).

Khi đó chiều dài y = 6 + \(\frac{{300}}{{x - 4}}\) = 6 + \(\frac{{300}}{{4 + 10\sqrt 2 - 4}}\) = 6 + \(15\sqrt 2 \).

Vậy kích thước của tờ giấy để nguyên liệu sử dụng ít nhất là chiều rộng bằng 4 + 10\(\sqrt 2 \) cm, chiều dài bằng 6 + \(15\sqrt 2 \) cm.