Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D, E, M, N thỏa mãn \(\overrightarrow {AD} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow {AE} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} \), \(\overrightarrow {BM} = \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \), \(\overrightarrow {AN} = k\overrightarrow {AM} \) với k là số thực. Đặt \(\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow b = \overrightarrow {AC} \). Biểu thị các vectơ \(\overrightarrow {AN} \), \(\overrightarrow {DE} \), \(\overrightarrow {EN} \) theo các vectơ \(\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} \), \(\overrightarrow b = \overrightarrow {AC} \) và tìm k để ba điểm D, E, N thẳng hàng.

Lời giải

Ta có: \(\overrightarrow {AN} = k\overrightarrow {AM} = k.\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} } \right) = k.\left( {\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} } \right) = k.\left[ {\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right)} \right]\)

= \(k.\left[ {\frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right]\) = \(k.\left[ {\frac{2}{3}\overrightarrow a + \frac{1}{3}\overrightarrow b } \right]\).

\(\overrightarrow {DE} = \overrightarrow {AE} - \overrightarrow {AD} = \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} = - \frac{1}{3}\overrightarrow a + \frac{2}{5}\overrightarrow b \).

\(\overrightarrow {EN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AE} = k.\left[ {\frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right] - \frac{2}{5}\overrightarrow {AC} = \frac{{2k}}{3}\overrightarrow {AB} + \left( {\frac{k}{3} - \frac{2}{5}} \right)\overrightarrow {AC} = \frac{{2k}}{3}\overrightarrow a + \left( {\frac{k}{3} - \frac{2}{5}} \right)\overrightarrow b \)

Để ba điểm D, E, N thẳng hàng thì tồn tại t ∈ ℝ sao cho \(\overrightarrow {EN} = t\overrightarrow {DN} \)

⇔ \(\frac{{2k}}{3}\overrightarrow a + \left( {\frac{k}{3} - \frac{2}{5}} \right)\overrightarrow b = t\left( { - \frac{1}{3}\overrightarrow a + \frac{2}{5}\overrightarrow b } \right)\)

⇔ \(\frac{{2k}}{3}\overrightarrow a + \left( {\frac{k}{3} - \frac{2}{5}} \right)\overrightarrow b = - \frac{t}{3}\overrightarrow a + \frac{{2t}}{5}\overrightarrow b \)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{2k}}{3} = - \frac{t}{3}\\\frac{k}{3} - \frac{2}{5} = \frac{{2t}}{5}\end{array} \right.\)⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}k = \frac{6}{{17}}\\t = - \frac{{12}}{{17}}\end{array} \right.\)

Do đó ba điểm D, E, N thẳng hàng khi k = \(\frac{6}{{17}}\).

Vậy \(\overrightarrow {AN} = k.\left[ {\frac{2}{3}\overrightarrow a + \frac{1}{3}\overrightarrow b } \right]\), \(\overrightarrow {DE} = - \frac{1}{3}\overrightarrow a + \frac{2}{5}\overrightarrow b \), \(\overrightarrow {EN} = \frac{{2k}}{3}\overrightarrow a + \left( {\frac{k}{3} - \frac{2}{5}} \right)\overrightarrow b \) và với k = \(\frac{6}{{17}}\) thì ba điểm D, E, N thẳng hàng.