Cho tam giác ABC, lấy các điểm A’, B’, C’ không trùng với đỉnh của tam giác và lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CA thỏa mãn \[\frac{{{\rm{AA}}'}}{{AB}} = \frac{{BB'}}{{BC}} = \frac{{CC'}}{{CA}}\]. Chứng minh hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Giải SBT Toán 10 CD Bài 5. Tích của một số với một vectơ có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

Đặt \[\frac{{{\rm{AA}}'}}{{AB}} = \frac{{BB'}}{{BC}} = \frac{{CC'}}{{CA}} = t\] (t > 0)

⇔ \[\left\{ \begin{array}{l}AA' = tAB\\BB' = tBC\\CC' = tCA\end{array} \right.\]

⇒ \[\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AA'} = t\overrightarrow {AB} \\\overrightarrow {BB'} = t\overrightarrow {BC} \\\overrightarrow {CC'} = t\overrightarrow {CA} \end{array} \right.\] (vì các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CA)

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC nên \[\overrightarrow {{\rm{GA}}} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \]

Ta có: \[\overrightarrow {{\rm{AA}}'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} = t\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} } \right)\]

⇔ \[\overrightarrow {{\rm{AG}}} + \overrightarrow {{\rm{GA}}'} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {CG} + \overrightarrow {GC'} = t\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} } \right)\]

⇔ \[\left( {\overrightarrow {{\rm{AG}}} + \overrightarrow {BG} + \overrightarrow {CG} } \right) + \left( {\overrightarrow {{\rm{GA}}'} + \overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {GC'} } \right) = t.\overrightarrow {AA} \]

⇔ \[ - \left( {\overrightarrow {{\rm{GA}}} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + \left( {\overrightarrow {{\rm{GA}}'} + \overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {GC'} } \right) = t.\overrightarrow 0 \]

⇔ \[\overrightarrow {{\rm{GA}}'} + \overrightarrow {GB'} + \overrightarrow {GC'} = \overrightarrow 0 \]

Suy ra G cũng là trọng tâm của tam giác A’B’C’.

Hot: Học hè online Toán, Văn, Anh...lớp 1-12 tại Vietjack với hơn 1 triệu bài tập có đáp án. Học ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm M, N, P thỏa mãn $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} $, $\overrightarrow {AN} = \frac{1}{5}\overrightarrow {AC} $, $\overrightarrow {AP} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} $. Đặt $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow a $ và $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow b $. Biểu thị các vec tơ $\overrightarrow {AN} $, $\overrightarrow {MN} $, $\overrightarrow {NP} $ theo các vectơ $\overrightarrow a $ và $\overrightarrow b $. Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có: $\overrightarrow {AN} = \frac{1}{5}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{5}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{1}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow {AD} = \frac{1}{5}\overrightarrow a + \frac{1}{5}\overrightarrow b $.

$\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = \frac{1}{5}\overrightarrow {AC} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \frac{1}{5}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = - \frac{3}{{10}}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{5}\overrightarrow {AD} = - \frac{3}{{10}}\overrightarrow a + \frac{1}{5}\overrightarrow b $.

$\overrightarrow {NP} = \overrightarrow {AP} - \overrightarrow {AN} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{1}{5}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{3}\overrightarrow {AD} - \frac{1}{5}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) = - \frac{1}{5}\overrightarrow {AB} + \frac{2}{{15}}\overrightarrow {AD} = - \frac{1}{5}\overrightarrow a + \frac{2}{{15}}\overrightarrow b $.

Ta có \[ - \frac{3}{{10}}\overrightarrow a + \frac{1}{5}\overrightarrow b = \frac{3}{2}\left( { - \frac{1}{5}\overrightarrow a + \frac{2}{{15}}\overrightarrow b } \right)\] hay $\overrightarrow {MN} = \frac{3}{2}\overrightarrow {NP} $

Do đó M, N, P thẳng hàng.

Vậy $\overrightarrow {AN} = \frac{1}{5}\overrightarrow a + \frac{1}{5}\overrightarrow b $; $\overrightarrow {NP} = - \frac{1}{5}\overrightarrow a + \frac{2}{{15}}\overrightarrow b $; $\overrightarrow {MN} = - \frac{3}{{10}}\overrightarrow a + \frac{1}{5}\overrightarrow b $ và ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Câu 2

Cho đoạn thẳng AB và O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {OA} $.

B. $\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {OB} $.

C. $\overrightarrow {AB} = - 2\overrightarrow {OB} $.

D. $\overrightarrow {AO} = 2\overrightarrow {AB} $.

Xem đáp án

Lời giải

Đáp án đúng là B

Vì O là trung điểm của AB nên OA = OB = $\frac{1}{2}$AB hay AB = 2OA = 2OB.

Ta có: $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {OA} $ là hai vectơ ngược hướng nên $\overrightarrow {AB} = - 2\overrightarrow {OA} $. Do đó A và D sai.

Ta lại có: $\overrightarrow {AB} $ và $\overrightarrow {OB} $ là hai vectơ cùng hướng nên $\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {OB} $. Do đó B đúng và C sai.

Câu 3