Câu hỏi:
06/08/2022 379Cho tam giác ABC đều cạnh a. Các điểm M, N lần lượt thuộc các tia BC và CA thỏa mãn \(BM = \frac{1}{3}BC\), \(CN = \frac{5}{4}CA\). Tính:
MN.
Siêu phẩm 30 đề thi thử THPT quốc gia 2024 do thầy cô VietJack biên soạn, chỉ từ 100k trên Shopee Mall.
Quảng cáo
Trả lời:
Lời giải
Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {CN} \)
⇔ \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CN} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BC} + \frac{5}{4}\overrightarrow {CA} = \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} + \frac{5}{4}\overrightarrow {CA} \)
⇔ \({\overrightarrow {MN} ^2} = {\left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {BC} + \frac{5}{4}\overrightarrow {CA} } \right)^2}\)
⇔ \({\overrightarrow {MN} ^2} = {\left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {BC} } \right)^2} + \frac{5}{3}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} + {\left( {\frac{5}{4}\overrightarrow {CA} } \right)^2}\)
⇔ \({\overrightarrow {MN} ^2} = {\left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {BC} } \right)^2} - \frac{5}{3}\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CA} + {\left( {\frac{5}{4}\overrightarrow {CA} } \right)^2}\)
⇔ \({\overrightarrow {MN} ^2} = \frac{4}{9}{\overrightarrow {BC} ^2} - \frac{5}{3}\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\left| {\overrightarrow {CA} } \right|{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {CA} } \right) + \frac{{25}}{{16}}{\overrightarrow {CA} ^2}\)
⇔ \({\overrightarrow {MN} ^2} = \frac{4}{9}{\overrightarrow {BC} ^2} - \frac{5}{3}\left| {\overrightarrow {BC} } \right|.\left| {\overrightarrow {CA} } \right|{\rm{cos}}\widehat {CBA} + \frac{{25}}{{16}}{\overrightarrow {CA} ^2}\)
⇔ \({\overrightarrow {MN} ^2} = \frac{4}{9}{a^2} - \frac{5}{3}a.a{\rm{cos60}}^\circ + \frac{{25}}{{16}}{a^2}\)
⇔ \({\overrightarrow {MN} ^2} = \frac{4}{9}{a^2} - \frac{5}{6}{a^2} + \frac{{25}}{{16}}{a^2} = \frac{{169}}{{144}}{a^2}\)
⇔ \(MN = \frac{{13}}{{12}}a\)
Vậy \(MN = \frac{{13}}{{12}}a\).
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Cho đoạn thẳng AB. Tập hợp các điểm M nằm trong mặt phẳng thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} = 0\) là:
A. Đường tròn tâm A bán kính AB.
B. Đường tròn tâm B bán kính AB.
C. Đường trung trực của đoạn thẳng AB.
D. Đường tròn đường kính AB.
Câu 2:
Cho tam giác ABC. Giá trị của \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA} \) bằng:
A. AB . AC . cos\(\widehat {BAC}\).
B. – AB . AC . cos\(\widehat {BAC}\).
C. AB . AC . cos\(\widehat {ABC}\).
D. AB . AC . cos\(\widehat {ACB}\).
Câu 3:
Câu 4:
Cho tam giác ABC đều cạnh a. Các điểm M, N lần lượt thuộc các tia BC và CA thỏa mãn \(BM = \frac{1}{3}BC\), \(CN = \frac{5}{4}CA\). Tính:
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BN} \).
Câu 5:
Câu 6:
Câu 7:
Cho tam giác ABC. Giá trị của \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} \) bằng:
A. AB . BC . cos\(\widehat {ABC}\).
B. AB . AC . cos\(\widehat {ABC}\).
C. – AB . BC . cos\(\widehat {ABC}\).
D. AB . BC . cos\(\widehat {BAC}\).
về câu hỏi!