Chứng minh rằng trong một tam giác, độ dài cạnh lớn nhất sẽ lớn hơn hoặc bằng $\frac{1}{3}$  chi vi của tam giác nhưng nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác đó.

Xét tam giác ABC có AB < AC (giả thiết)

Suy ra $\widehat{C}<\widehat{B}$  (trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn).

Vì AD là tia phân giác của góc BAC nên ${\widehat{A}}_1={\widehat{A}}_2$ .

Xét DABD có:${\widehat{A}}_1+\widehat{B}+\widehat{ADB}=180°$  (tổng ba góc của một tam giác).

Suy ra  $\widehat{ADB}=180°-{\widehat{A}}_1-\widehat{B}$     (1)

Xét DACD có:${\widehat{A}}_2+\widehat{C}+\widehat{ADC}=180°$  (tổng ba góc của một tam giác).

Suy ra  $\widehat{ADC}=180°-{\widehat{A}}_2-\widehat{C}$    (2)

Mà ${\widehat{A}}_1={\widehat{A}}_2$  (chứng minh trên) và $\widehat{B}>\widehat{C}$   (chứng minh trên) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có $\widehat{ADB}<\widehat{ADC}$

Vậy $\widehat{ADB}<\widehat{ADC}$

• Xét tam giác ABD có là góc tù.

Nên BA < BD (trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất) (1)

• Vì $\widehat{BDE}$  là góc ngoài của tam giác ADB tại đỉnh D nên $\widehat{BDE}=\widehat{A}+\widehat{ABD}$ .

Mà $\widehat{A}$ là góc tù.

Do đó $\widehat{BDE}$  là góc tù.

Xét tam giác EBD có $\widehat{B\text{D}E}$ là góc tù .

Nên BD < BE (trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất) (2)

• Vì $\widehat{BEC}$  là góc ngoài của tam giác AEB tại đỉnh E nên $\widehat{BEC}=\widehat{A}+\widehat{ABE}$

Mà $\widehat{A}$ là góc tù.

Do đó $\widehat{BEC}$  là góc tù.

Xét tam giác EBC có $\widehat{BEC}$ là góc tù.

Nên BE < BC (trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù là cạnh lớn nhất) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra BA < BD < BE < BC.

Vậy BA < BD < BE < BC.